Kvant. Конденсатор в воде

Стасенко А.Л. Зачем погружать конденсатор в воду? //Квант. — 1996. — № 1. — С. 39-40.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Жил-был плоский конденсатор. Его совершенно плоские пластины площадью l² были строго параллельны, отстояли друг от друга на расстояние d и были подключены к батарее с разностью потенциалов U. И было в нем совершенно однородное электрическое поле с модулем напряженности \(~E_0 = \frac Ud\), перпендикулярное его пластинам...»

Да, но ведь это сказка! В реальности пластины имеют конечные размеры и, следовательно, края. Выясним, как выглядит поле у краев этого плоского конденсатора.

Рис. 1

Может ли оно иметь вид, изображенный на рисунке 1,а, т.е. быть равным E₀ внутри и резко обрываться до нуля сразу за его пределами? Предположим, что это так. Тогда возьмем какой-нибудь положительный заряд q и пронесем его по замкнутому контуру 0dc0. На участке 0d поле совершит работу \(~qE_0d = qU\), a на участке dc0 при этом перемещении никакой работы не будет, так как по нашему предположению там Е = 0. В результате при перемещении по выбранному контуру мы получим от поля работу, равную qU. Мы можем совершать такие циклы много раз в секунду и получим совершенно бесплатный источник энергии — вечный двигатель, что запрещено. Значит, что-то не так. Работа по замкнутому контуру должна быть равна нулю. Следовательно, должно быть поле и на участке dc0, причем такое, чтобы дать работу, в точности равную —qU, т.е. противоположную по знаку работе на участке 0d. Правда, судя по рисунку, участок dc0 длиннее 0d, и поэтому напряженность поля на этом участке в среднем должна быть меньше, чем внутри конденсатора, но не равной нулю. Эти рассуждения приводят нас к картине линий поля, качественно изображенной на рисунке 1,б. Поле есть всюду, только вне конденсатора оно имеет малую напряженность, и тем меньшую, чем больше \(~\frac ld\). Таким образом, у краев плоского конденсатора поле неоднородно.

Рис. 2

Опустим теперь край плоского конденсатора с вертикально расположенными пластинами в жидкость, например в воду. Поскольку молекулы воды представляют собой диполи (электронейтральная система двух зарядов, равных по модулю и противоположных по знаку), электрическое поле (направленное, например, вдоль знакомой нам силовой линии dc0) будет стремиться развернуть их параллельно вектору напряженности, т.е. вдоль силовой линии, как это показано на рисунке 2 в точках а и b. Пусть такой поворот произошел, и некий диполь принял положение с. Но поскольку заряды в диполе разнесены на некоторое расстояние (пусть малое, но конечное — например, порядка размера молекулы), силы \(~\vec F_+\) и \(~\vec F_-\), действующие на положительный и отрицательный заряды, не точно параллельны друг другу — просто потому, что силовая линия dcba0 есть кривая. Возникает результирующая сила \(~\vec F = \vec F_+ + \vec F_+\), явно направленная внутрь конденсатора. Значит, жидкость будет втягиваться между пластинами конденсатора.

«Замечательно! — воскликнет невдумчивый школьник, — мы получили насос, который должен работать вечно! Так можно перекачивать воду из рек на поля совершенно бесплатно — всего лишь опустив конденсатор в воду.» Но на то он, школьник, и невдумчивый.

А вдумчивый ответит, что это никак невозможно, поскольку опять получился бы вечный двигатель. Значит, втягивание должно закончиться тем, что в конденсаторе установится некоторый уровень воды. Потенциальное электростатическое поле поработает против потенциального поля тяготения, и равновесие наступит по достижении некоторого уровня воды h внутри конденсатора — уровня более высокого, чем снаружи.

А как найти эту высоту h? Конечно, можно определить суммарную силу \(~\vec F + m_0 \vec g\), действующую на каждый диполь- молекулу, написать для него уравнение второго закона Ньютона и исследовать движение всех миллиардов миллиардов... молекул. Однако это утомительно. Поступим таким образом.

Если поле внутри плоского конденсатора над жидкостью осталось равным \(~E_0 = \frac Ud\) (как и до погружения конденсатора), то плотность электрической энергии (т.е. энергия единицы объема) здесь есть \(~w_0 = \frac{\varepsilon_0 E^2_0}{2}\), где ε₀ — электрическая постоянная. Если поле внутри конденсатора в жидкости равно E₁, то плотность энергии равна \(~w_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E^2_1}{2}\), где ε — диэлектрическая проницаемость жидкости. Значит, изменение электростатической энергии в объеме hdl при заполнении его жидкостью составляет (w₁ - w₀)hdl.

«Теперь все ясно! — скажет невдумчивый школьник, — я слышал где-то, что поле Е, внутри диэлектрика в ε раз больше, и собираюсь подставить это в формулу.» И опять же — неверно!

Повторим тот же мысленный эксперимент, что и вначале: пронесем заряд q по замкнутому прямоугольному контуру ABCDA (см. рис.2). Суммарная работа должна быть равна нулю\[~0 = qE_0 \cdot AB - qE_1 \cdot CD\] (здесь мы не написали вклад в работу на участках ВС и DA, поскольку горизонтальная сила перпендикулярна вертикальным перемещениям, а знак «минус» отражает тот факт, что на участке CD поле и перемещение противоположны по направлению). Но тогда E₁ = E₀, т.е. поля над жидкостью и внутри жидкости одинаковы. В таком случае изменение электростатической энергии конденсатора можно записать в виде

\(~(w_1 -w_0) hdl = \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0}{2} \left( \frac Ud \right)^2 dlh\) ,

т.е. оно прямо пропорционально h. При этом на конденсатор притек дополнительный заряд, прошедший через батарею и равный

\(~q_1 = (\varepsilon - 1)\varepsilon_0 \left( \frac Ud \right) lh\) .

Значит, батарея совершила работу

\(~Uq_1 = (\varepsilon - 1)\varepsilon_0 \left( \frac Ud \right)^2 dlh\) .

За счет этой работы происходит упомянутое изменение электростатической энергии конденсатора и подъем жидкости внутри конденсатора под действием втягивающей силы F_BT. Поскольку изменение электростатической энергии конденсатора и работа батареи пропорциональны высоте h, закон сохранения энергии для малого приращения Δh запишем так:

\(~(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 \left( \frac Ud \right)^2 dl \Delta h = \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0}{2} \left( \frac Ud \right)^2 dl \Delta h + F_{BT} \Delta h\) ,

откуда получим

\(~F_{BT} = \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0 dl}{2} \left( \frac Ud \right)^2 = \operatorname{const}\) .

В состоянии покоя эта сила будет равна силе тяжести столба жидкости

\(~mg = \rho ghdl\) .

Отсюда для нужной нам высоты h получаем

\(~h = \frac{(\varepsilon - 1)\varepsilon_0}{2 \rho g} \left( \frac Ud \right)^2\) .

А какая польза народному хозяйству от этого опускания конденсатора в жидкость? Польза есть. Например, если вам известны свойства жидкости (ρ, ε), то, измерив h и d, можно найти напряжение исследуемой батарейки. И заметьте себе — без каких-либо электрических приборов, только при помощи деревянной линейки. Такое устройство существует и называется капиллярным вольтметром, только в нем электроды — цилиндрические. Или, наоборот, если значение U написано на вашей батарейке (и вы этому верите), можно узнать диэлектрическую проницаемость ε какой-нибудь жидкости. Или... Впрочем, любая формула физики позволяет что- нибудь узнать.

Ну а если обрезать конденсатор на высоте меньше h — тогда (может быть?) жидкость начнет выливаться через верхний край конденсатора и получится бесплатный насос? Тут уж подумайте сами.