Kvant. Кинематика вращательного движения

Чивилёв В.И. Кинематика вращательного движения //Квант. — 1986. — № 11. — С. 17-18.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Медленно проехав перекресток, троллейбус стал удаляться по улице, плавно увеличивая свою скорость...

Движение колеса троллейбуса — лишь один из многих примеров сложного механического движения в окружающем нас мире. Оказывается, любое сложное движение можно представить как сумму двух простых движений — поступательного и вращательного. Понимать это следует так: всегда можно подобрать такую поступательно движущуюся систему отсчета, относительно которой движение выглядит только как вращение вокруг некоторой неподвижной оси.

Какую же в нашем случае надо выбрать систему отсчета, чтобы в ней колесо троллейбуса совершало чистое вращение? Какими физическими величинами описывается это вращение, как эти величины связаны друг с другом и как зависят от времени? Такие вопросы могут возникнуть не только на пешеходном переходе, но и на уроке, экзамене, при решении конкретной задачи.

На первый вопрос ответить легко, догадавшись, что поступательно движущуюся систему отсчета можно связать с самим троллейбусом (его корпусом). Перед тем как ответить на остальные вопросы, заметим, что в нашем примере колесо вращается неравномерно — модуль скорости любой точки колеса меняется со временем.

Рассмотрим некоторую точку М колеса, находящуюся на расстоянии r от оси вращения и имеющую в некоторый момент времени скорость \(~\vec \upsilon\) и ускорение \(~\vec a\) (рис. 1). Из физических соображений разумно ускорение \(~\vec a\) представить как сумму двух составляющих: одна из них \(~\vec a_c\) направлена по радиусу к центру окружности — центростремительное ускорение, вторая \(~\vec a_k\) направлена по касательной к окружности — касательное ускорение. Оба эти ускорения имеют определенный физический смысл — касательное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости, а центростремительное характеризует быстроту изменения направления скорости. Можно показать, что модуль центростремительного ускорения \(~a_c = \frac{\upsilon^2}{r}\) («Физика 8», §16), а модуль касательного ускорения \(~a_k = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\), где Δυ — изменение модуля υ скорости точки за сколь угодно малое время Δt.

Рис. 1

Линейные и угловые величины

Как уже говорилось, нам надо ввести такие физические величины, которые характеризовали бы неравномерное вращение колеса (в системе отсчета, связанной с троллейбусом). Попробуем это сделать по аналогии с прямолинейным неравномерным движением.

Проследим за точкой М колеса в течение малого промежутка времени Δt. За это время точка пройдет по дуге окружности путь s и будет иметь скорость υ и касательное ускорение a_k (рис. 2). Три величины s, υ и a_k, называемые линейными величинами, характеризуют движение точки М, но не могут служить для описания вращения всего колеса, так как в один и тот же момент времени другие точки, расположенные на других расстояниях от оси вращения, имеют другие линейные скорости, и касательные ускорения и пройденные ими пути тоже не одинаковы. Поэтому кроме линейных вводятся так называемые угловые величины, которые одинаковы для всех точек вращающегося колеса: угол поворота φ радиуса, соединяющего точку М с центром окружности, угловая скорость \(~\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) (Δφ — изменение угла поворота за время Δt) и угловое ускорение \(~\varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\) (Δω — изменение угловой скорости).

Рис. 2

Очевидно, что введенными здесь угловыми величинами можно описывать вращение не только троллейбусного колеса, но и любого другого тела. При этом с течением времени может изменяться не только угол поворота φ, но и угловая скорость ω и угловое ускорение ε. В частности, если угловое ускорение не зависит от времени, то угловая скорость изменяется равномерно и в таком случае говорят, что имеет место равноускоренное вращение. Когда же угловая скорость остается постоянной, то угловое ускорение оказывается равным нулю и говорят о равномерном вращении тела.

Связь линейных и угловых величин

Понятно, что линейные и соответствующие им угловые величины должны быть определенным образом связаны между собой. Найдем эти связи.

При повороте радиуса, проведенного в точку М (см. рис. 2), на угол φ точка пройдет по дуге окружности путь

\(~s = r \varphi\) . (1)

За малое время Δt точка проходит расстояние \(~\Delta s = r \varphi_2 - r \varphi_1\) , где φ₂ и φ₁ — углы поворота в конце и в начале интервала Δt. Разделив последнее равенство на Δt и учитывая, что \(~\frac{\Delta s}{\Delta t} = \upsilon\) и \(~\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{\Delta t} = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \omega\), получим

\(~\upsilon = r \omega\) . (2)

Заметим, что соотношение (2) связывает между собой линейную и угловую скорости не только при равномерном движении точки по окружности, но- и при неравномерном движении тоже. Изменение модуля скорости точки за время Δt есть \(~\Delta \upsilon = r \omega_2 - r \omega_1\) , где ω₂ и ω₁ — угловые скорости в конце и в начале промежутка Δt. Разделим последнее равенство на Δt и учтем, что \(~\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = a_k\) и \(~\frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \varepsilon\), тогда касательное ускорение

\(~a_k = r \varepsilon\) . (3)

Соотношения (1), (2) и (3) дают для движущейся по окружности точки простую связь между линейными и угловыми величинами: линейная величина равна произведению радиуса окружности на соответствующую угловую величину. Эти соотношения получены нами для конкретной точки М колеса троллейбуса, но они справедливы и для любой другой точки вращающегося (как равномерно, так и неравномерно) тела.

Формулы кинематики для равноускоренного вращательного движения

Найдем зависимость угловой скорости ω и угла поворота φ колеса троллейбуса от времени t для случая вращения колеса с постоянным угловым ускорением ε.

Пусть начальная угловая скорость равна ω₀. Тогда точка М, имея начальную скорость υ₀ = rω₀, будет двигаться с постоянным по модулю касательным ускорением a_k = rε. По аналогии с прямолинейным равноускоренным движением для линейной скорости υ и пути s получим равенства

\(~\upsilon = \upsilon_0 + a_k t\) , (4) \(~s = \upsilon_0 t + \frac{a_k t^2}{2}\) , (5)

из которых после исключения времени t следует полезное соотношение:

\(~\upsilon^2 - \upsilon^2_0 = 2 a_k s\) . (6)

Подставив в равенства (4)-(6) s = rφ, υ = rω, a_k = rε, υ₀ = rω₀ и упростив, получим соотношения

\(~\begin{matrix} \omega = \omega_0 + \varepsilon t \\ \varphi = \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2} \\ \omega^2 - \omega^2_0 = 2 \varepsilon \varphi \end{matrix}\) .

Это и есть формулы кинематики для. вращательного движения любого тела (а не только колеса троллейбуса) с постоянным угловым ускорением.