Kvant. Качели
Черноуцан А.И. Качели //Квант. — 1994. — № 3. — С. 34,36.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
Наверное, правильно предположить, что человек никогда не изобретал качелей — уж слишком проста их «конструкция». Здесь не требуется никакой high technology. Достаточно взять веревку, привязать один ее конец на высоте нескольких метров, взяться за другой, разбежаться, поджать ноги — и вот вы уже раскачиваетесь на самодельных качелях.
Но так ли все просто? Если мы, оторвавшись от земли, не будем ничего предпринимать, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, пока качели совсем не остановятся. Это и понятно — действие сил трения в точке подвеса качелей и сил сопротивления воздуха приводят к тому, что высота, на которую поднимается центр тяжести качелей (вместе с человеком) в крайних положениях, с каждым разом становится все меньше и меньше. Иными словами, уменьшается механическая энергия системы. Как же избежать этого? Что нужно сделать, чтобы, не касаясь земли, вновь раскачать качели и продолжать качаться столько, сколько нам хочется? Разумеется, ответ вам известен — нужно в крайних положениях чуть-чуть опускать центр тяжести своего тела относительно качелей, а в среднем — поднимать (рис. 1). Если вы стоите на качелях, то можно просто вовремя приседать и подниматься, а если вы качаетесь сидя, надо периодически сгибать и разгибать колени. В результате оказывается, что за счет работы мышц происходит увеличение механической энергии всей системы.
Чтобы понять, почему это так, рассмотрим предельно упрощенную модель человека на качелях — обычный маятник, т.е. небольшой грузик на легкой и длинной нити. Чтобы имитировать поднимание и опускание центра тяжести, пропустим верхний конец нити через маленькое вертикальное отверстие и будем немного вытягивать нить вверх, когда маятник проходит среднее положение, и настолько же опускать нить вниз, когда маятник проходит крайние положения (рис. 2). Втягивая нить, мы совершаем положительную работу, т.е. увеличиваем энергию маятника, а отпуская нить, мы совершаем отрицательную работу, т.е. отбираем энергию у маятника. Но легко понять, что в среднем положении нить натянута сильнее, чем в крайнем, — в первом случае сила натяжения нити не только уравновешивает силу тяжести, но и сообщает маятнику центростремительное ускорение, а во втором лишь уравновешивает составляющую силы тяжести вдоль нити. Поэтому положительная работа будет больше отрицательной.
Аналогичное явление возникает и при раскачивании человека: в среднем положении его «прижимает» к качелям (можно сказать, что на него действует центробежная сила инерции — если вы знакомы с неинерциальными системами отсчета, то поймете, о чем идет речь), мышцы ног напряжены сильнее, и работа по разгибанию ног оказывается больше, чем по сгибанию.
Вернемся, однако, к нашей упрощенной модели и проделаем несложные расчеты, которые помогут нам понять, как и при каких условиях может происходить раскачивание. Натяжение нити в нижнем положении (B) равно
а в крайнем (A и C) -
Здесь m — масса грузика, υ — его скорость в среднем положении, l — длина нити, α — угол отклонения в крайнем положении. Совершенная нами за один период работа равна
где Δl — изменение длины маятника (мы считаем, что \(~\frac{\Delta l}{l} << 1\)). Выражение в скобках есть не что иное, как утроенная энергия колебаний Е. Поэтому получаем
Обратите внимание: относительное увеличение энергии за период не зависит от того, слабо раскачивается маятник или сильно. Это очень важно, и вот почему. Если маятник не «подкачивать» , то за каждый период он будет терять за счет трения определенную часть своей энергии и колебания будут затухать. А чтобы размах колебаний увеличивался, необходимо, чтобы приобретаемая энергия превышала потерянную. И это условие, оказывается, одно и то же — как при маленькой амплитуде движения, так и при большой. Так, если за один период энергия свободных колебаний уменьшается на 6%,то для раскачивания маятника длиной 1 м достаточно в среднем положении уменьшать его длину на 1 см, а в крайнем — настолько же увеличивать.
Возвращаясь к качелям: если вы начали раскачиваться, то нет необходимости приседать все глубже и глубже — приседайте все время одинаково, и будете взлетать все выше и выше! Более того: если даже качели стоят на месте, а вы начали достаточно глубоко приседать с периодом, вдвое меньшим периода качелей, то колебания обязательно возникнут (правда, во-первых, надо угадать период, а во-вторых — должен помочь случай). Говоря языком техники, мы можем не только усиливать уже возникшие колебания, но и генерировать (т.е. создавать) их.
На примере детской игрушки — качелей — вы познакомились с важным физическим явлением — параметрическим резонансом. Почему такое название? Да потому, что для раскачивания колебаний периодически изменяют какой-нибудь из параметров, характеризующих свойства колебательной системы, например — период колебаний. Не обязательно менять параметр два раза за период — можно делать это один раз или даже один раз за несколько периодов. (Кстати, дети на качелях обычно приседают только тогда, когда движутся лицом вперед, т.е. один раз за период — так им, наверное, удобнее.) Какой мы при этом изменяем параметр, неважно. Например, для математического маятника период колебаний зависит от длины- нити и от ускорения свободного падения — \(~T = 2 \pi \sqrt{\frac lg}\), т.е. можно изменять не только l, но и g. (Для этого не надо пытаться изменять притяжение к Земле - достаточно держаться за точку подвеса и придавать ей необходимое ускорение в вертикальном направлении. Ускорение вверх приводит к увеличению д в неинерциальной системе отсчета, связанной с точкой подвеса, ускорение вниз — кегоуменышнию.) Длягрузана пружинке период определяется массой груза и жесткостью пружинки — \(~T = 2 \pi \sqrt{\frac mk}\), т.е. можно изменять либо жесткость пружинки k , либо массу груза m (придумайте сами, как это сделать). Во всех случаях надо так изменять параметр, чтобы полная работа была положительной и энергия маятника увеличивалась.
