Kvant. Катушка в м. поле

Майер В., Майер Р. Катушка, вращающаяся в магнитном поле //Квант. — 2004. — № 4. — С. 17-18,37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Установленный Фарадеем закон электромагнитной индукции говорит о том, что ЭДС индукции, возникающая в проводящем витке, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через виток:

\(~\varepsilon = -\frac{d \Phi}{dt}. \qquad (1)\)

Чтобы экспериментально обосновать справедливость этой формулы, нужно уметь измерять ЭДС индукции и скорость изменения магнитного потока. Последнее кажется наиболее трудным, так как нет доступных приборов, позволяющих определить величину магнитного потока.

А что если виток вращать в однородном постоянном магнитном поле? Тогда магнитный поток через него будет периодически изменяться, и скорость этого изменения нетрудно определить по угловой скорости вращения витка. Попробуем исследовать и реализовать эту идею.

Элементы теории

Пусть виток вращается округ оси, лежащей в его плоскости и проходящей через центр витка. Если индукция однородного магнитного поля В, а угловая скорость вращения витка ω, то магнитный поток через виток изменяется по закону

\(~\Phi = BS \cos \omega t, \qquad (2)\)

где S — площадь витка (здесь за начало отсчета времени принят момент, когда вектор нормали к витку \(~\vec n\) сонаправлен с вектором индукции \(~\vec B\)). В этом случае ЭДС индукции равна

\(~\varepsilon = -\frac{d \Phi}{dt} = BS \omega \sin \omega t = \varepsilon_m \sin \omega t. \qquad (3)\)

Построим график зависимости ЭДС индукции ε от угла поворота ωt витка, вращение которого происходит против часовой стрелки, в полярной системе координат (рис. 1). В начальный момент времени t = 0, при котором векторы нормали \(~\vec n\) и индукции \(~\vec B\) сонаправлены, ЭДС индукции равна нулю. В момент, когда виток повернется на угол \(~\omega t = \frac{\pi}{2}\), ЭДС индукции достигает максимального значения ε_m. При произвольном угле поворота ωt ЭДС индукции равна \(~\varepsilon = \varepsilon_m \sin \omega t\). Именно такой отрезок нужно отложить на радиусе-векторе (нормали к витку) полярной системы координат, чтобы построить одну из точек А требуемого графика.

Рис. 1

Из рисунка 1 видно, что точка А вместе с точками О и С обозначают вершины прямоугольного треугольника ОАС. Значит, все точки строящегося графика лежат на окружности, диаметром которой является гипотенуза ОС треугольника ОАС. Продолжая рассуждения, приходим к выводу, что полный график представляет собой две окружности одинакового диаметра ε_m, проходящие через начало координат О и расположенные симметрично относительно оси В.

Идея эксперимента

Понятно, что эксперимент, подтверждающий изложенную теорию, нужно проводить не с отдельным витком, а с катушкой, состоящей из множества витков, так как это увеличит ЭДС индукции и значительно снизит требования к чувствительности измерительных приборов. Возникающая в катушке из N витков ЭДС индукции в N раз больше, чем для одного витка:

\(~\varepsilon = -N \frac{d \Phi}{dt} = NBS \omega \sin \omega t = \varepsilon_m \sin \omega t. \qquad (4)\)

Как убедиться в том, что действительно на концах катушки возникает ЭДС индукции, изменяющаяся по закону (4)? Для этого к выводам катушки можно подключить электроизмерительный прибор или, что лучше, осциллограф и исследовать генерируемое напряжение. Однако сделать это не так- то просто: катушка вращается, поэтому для соединения ее выводов с измерительным прибором придется использовать коллектор из пары колец и щеток. А там где щетки — там плохой контакт и связанные с этим всякого рода сложности и неприятности. Вот почему мы предлагаем измерительный прибор разместить непосредственно на вращающейся катушке. В качестве такого прибора удобно использовать светодиод, который своим свечением и яркостью покажет наличие ЭДС индукции и позволит оценить ее величину.

Разберемся, что именно можно увидеть с помощью светодиода. Напомним, что светодиод — это малоинерционный полупроводниковый источник света, который зажигается при определенном пороговом напряжении U₀. В той же полярной системе координат, что и раньше (см. рис. 1), построим график напряжения зажигания светодиода. Очевидно, это окружность радиусом U₀ с центром в начале координат О (рис. 2). Светодиод зажигается, когда ЭДС индукции превышает напряжение зажигания, т.е. когда ε > U₀. На рисунке 2 жирными линиями выделены те части графика напряжения зажигания, которые удовлетворяют этому неравенству.

Рис. 2

Светодиод закрепим на конце катушки на расстоянии R от ее центра. Тогда при вращении катушки он будет описывать окружность радиусом R и загорится, когда ЭДС индукции превысит его порог зажигания. Однако, при повороте катушки на угол π знак ЭДС индукции изменится на противоположный, и светодиод погаснет, поскольку обладает односторонней проводимостью. Чтобы пронаблюдать наличие ЭДС индукции и в этом случае, на конце катушки рядом с первым закрепим второй светодиод, включенный в противоположном направлении. Кроме того, выберем светодиоды разного цвета, например красный и зеленый, чтобы по окраске свечения сразу можно было судить о знаке ЭДС индукции.

Такая катушка со светодиодами при вращении в магнитном поле обозначит две симметричные дуги разного цвета (см. рис. 2). Отрезок между концами светящихся дуг, очевидно, имеет длину \(~MN = 2R \sin \omega t\). Из треугольника ОАС видно, что \(~\sin \omega t = \frac{U_0}{\varepsilon_m}\), поэтому получаем

\(~MN = 2R \frac{U_0}{\varepsilon_m} = \frac{2RU_0}{NSB \omega} = k \frac{1}{B \omega}, \qquad (5)\)

где k — некоторый коэффициент, постоянный для данной конструкции прибора.

Таким образом, длина отрезка, соединяющего ближайшие концы светящихся дуг, обратно пропорциональна индукции магнитного поля и угловой скорости вращения в нем катушки. Если эксперимент подтвердит справедливость этого вывода, то тем самым будет обоснована справедливость формулы (4) и закона электромагнитной индукции (1).

Экспериментальное оборудование

Устройство прибора схематически показано на рисунке 3: катушка 1 с ферромагнитным сердечником установлена на дюралевом диске 2, центр которого закреплен на валу школьной центробежной машины перпендикулярно оси вращения. К выводам катушки подключены два разноцветных светодиода 3, соединенные параллельно во взаимно противоположных направлениях. Рядом с прибором расположены кольцевые керамические магниты 4.

Рис. 3

Катушка намотана на сердечник сечением 15 × 15 мм и длиной 80 мм, набранный из пластин трансформаторной стали. Она содержит от 2000 до 4000 витков провода ПЭЛ 0,15 (чем больше количество витков, тем выше чувствительность прибора). Для индикации использованы красный и зеленый светодиоды типа АЛ307А и АЛ307Б (применение современных сверхъярких светодиодов значительно повышает эффектность опытов). Чтобы при вращении катушка не соударялась с постоянным магнитом, она расположена на дюралевом диске, диаметр которого на 2 - 3 мм превышает длину катушки.

На рисунке 4 приведена фотография одного из изготовленных нами приборов. В нем сердечник просверлен посередине и непосредственно закреплен на валу, который установлен в центробежной машине, а для защиты катушки и светодиодов использована донная часть пластиковой бутылки.

Рис. 4

Вы уже поняли, что конструктивно прибор может быть оформлен самыми различными способами, важно только выдержать основные параметры катушки. Заметим, кстати, что 2000 витков вполне достаточно, а намотать их можно вручную в течение примерно часа. Вместо центробежной машины, которой может не оказаться в физическом кабинете, вполне подойдет ручная дрель. Мы изготовили около 10 описанных приборов, и все они всегда работали, несмотря на то что в некоторых из них в качестве сердечника применялись стальные болты, в других - катушки наматывались очень небрежно или использовались готовые, например от старых реле.

Натурный эксперимент

Для опытов подберите кольцевые керамические магниты диаметром примерно 80 мм от старых динамиков или иных устройств.

Опыт 1. Вначале катушку оставьте неподвижной и к ее сердечнику резко поднесите магнит; при этом один из светодиодов загорается. Магнит резко удалите от сердечника — загорается второй светодиод. Отсюда следует, что при изменении магнитного потока в катушке возникает ЭДС индукции, в зависимости от направления которой загорается красный или зеленый светодиод.

Опыт 2. Катушку приведите во вращение и медленно приближайте к вращающейся катушке магнит. Вы увидите, что возникают две диаметрально противоположные светящиеся дуги красного и зеленого цвета, которые разделены темными промежутками (рис. 5). Отрезок, соединяющий эти промежутки, параллелен направлению магнитного поля. Светящиеся дуги становятся ярче и увеличиваются в размерах по мере роста скорости вращения катушки и приближения к ней магнита. При повороте магнита вокруг оси вращения катушки светящиеся дуги поворачиваются так, что отрезок, соединяющий темные промежутки, остается параллельным магнитному полю (рис. 6). При изменении направления вращения катушки или направления магнитного поля на противоположное разноцветные дуги меняются местами.

• 

  Рис. 5
• 

  Рис. 6

Сопоставляя результаты всех проделанных опытов, можно прийти к выводу, что во вращающейся в постоянном магнитном поле катушке возникает переменная ЭДС индукции, которая за оборот один раз меняет свое направление, и она тем больше по величине, чем выше скорость вращения и значительнее индукция магнитного поля.

Если выводы катушки подключить не к светодиодам, а к коллектору из двух колец и двух щеток, то на выводах такого коллектора, очевидно, появится переменное напряжение синусоидальной формы. Иными словами, вращающаяся в постоянном магнитном поле катушка с соответствующим коллектором является электрическим генератором переменного тока. Сделав коллектор из двух полуколец, расположенных подобно светящимся дугам, получаем электрический генератор постоянного (пульсирующего) тока.

Задания для самостоятельного исследования

1. Разработайте компьютерную программу, обеспечивающую построение в полярной системе координат графика зависимости ЭДС индукции от угла поворота витка в постоянном магнитном поле. На компьютерной модели исследуйте эту зависимость при различных значениях скорости вращения витка и индукции магнитного поля.
2. Исследуйте вращение катушки в переменном магнитном поле, используя компьютерный и натурный эксперименты. Для последнего вместо постоянного магнита нужно взять электромагнит, подключенный к источнику переменного тока. Подойдут имеющиеся в школьном физическом кабинете дроссельная катушка со стальным сердечником и блок питания В-24.
3. Разработайте компьютерную модель описанного в статье прибора, обеспечивающую построение разноцветных дуг, подобных тем, которые высвечивают светодиоды. Выполните серию компьютерных экспериментов, изменяя скорость вращения катушки и частоту магнитного поля. Сопоставьте результаты модельных и натурных экспериментов.