Kvant. И тележка в гору едет
Семиков С. И тележка в гору едет... //Квант. — 2008. — № 5. — С. 35-36.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
Кто из нас не мечтал иметь санки, которые съехав с горы, как по щучьему веленью сами бы взбирались наверх. Но, оказывается, катки способные самостоятельно въезжать в горку, все же бывают.
Каток - это выточенный, например из оргстекла, биконус, т.е. два одинаковых конуса, сложенных основаниями, а горка - это две одинаковые скошенные рейки, ребром поставленные на стол под углом друг к другу (рис. 1). В зависимости от этого угла и от угла скоса реек каток, поставленный на рейки, словно на рельсы, либо скатится, либо въедет в горку, а может и остаться на месте. Не имея опыта, трудно угадать, как именно он себя поведет.
Эту нехитрую установку можно собрать и дома. Каток легко сделать из двух одинаковых пластиковых бутылок, срезав у них конические верхушки, которые потом скрепляются клеем либо трубкой, пропущенной через горлышки (рис. 2). А деревянные рейки можно заменить вырезанными из картона. Каток поменьше можно собрать из двух навинчивающихся наконечников из гелиевых ручек.
Если поэкспериментировать с собранной установкой, меняя катки и углы реек, могут возникнуть два вопроса. Во-первых, почему каток способен как скатываться с горки, так и заезжать на горку? А во-вторых, как найти то переломное, критическое соотношение параметров установки, по достижение которого каток, положенный на горку, замирает?
Внимательно наблюдая за экспериментом, можно заметить, что даже если каток едет вверх по горке, он в действительности опускается. Ведь в отличие от цилиндров или санок, съезжающих с горы, у катка расстояние до опоры меняется. Так, по мере продвижения катка в гору просвет между рейками расширяется, и каток опирается на них все более узкими частями, катится по все меньшему радиусу, приближаясь осью к рейкам. В зависимости от того, что меняется быстрее - высота реек или соответствующее ей снижение катка, каток поедет вверх или вниз. Каток всегда стремится опуститься - занять состояние с наименьшей потенциальном энергией, как сказал бы физик. Если же высота центра тяжести не меняется, т.е. поднятие по рейке компенсируется таким же опусканием катка, то он стоит на месте. Отсюда легко найти то самое критическое соотношение параметров установки.
Очевидно, что параметров, способных влиять на исход опыта, только три - угол 2α между рейками, угол β их скоса и угол γ конусности катка, составляемой образующей конуса с его осью. Если каток пройдет вдоль рейки расстояние l, точка его опоры K поднимется на l tg β, при этом точки опоры катка разойдутся от его средней плоскости (от общего основания конусов) на b = l sin α, а радиус качения уменьшится на b tg γ = l sin α tg γ (рис. 3).
Итак, поднятие опоры катка на l tg β из-за въезда в горку сопровождается его опусканием на l sin α tg γ из-за сближении оси О с рейкой. Если первое больше второго, то каток съезжает, если меньше - катится в гору, если же эти изменения высоты компенсируют друг друга, то высота центра катка не меняется. Иными словами, если выполнено критическое соотношение tg β = sin α tg γ, каток не пойдет ни вверх, ни вниз но горке - ему безразлично, куда ехать и где находиться.
Однако энергетические соображения позволяют лишь узнать исход опыта, сказать, как поведет себя каток, но не объясняют почему. Поэтому лучше рассмотреть действующие на каток силы. Ведь движение санок с горы вниз обычно объясняют не тем, что это им выгодно энергетически, а тем, что их притягивает земля. Цилиндр катится с горки не потому, что знает где «лучше», а из-за того, что действующая на него сила тяжести G создает соответствующий вращательный момент относительно точки опоры. Для цилиндра, как легко видеть, точка касания K всегда лежит по отношению к горе выше его центра тяжести O, поэтому момент направлен так, что цилиндр катится вниз (рис. 4). У катка же точка К может находиться ближе к началу горки пли под центром тяжести; соответственно, момент направлен так, что каток поедет вверх пли останется недвижим. (Это напоминает известный опыт с катушкой, которая в зависимости от угла, под которым мы тянем намотанную на нее нить, катится к нам или от нас.)
Итак, чтобы каток находился в покое, точка касания К должна лежать точно под осью О конуса, т.е. перпендикуляр КО к оси конуса должен быть вертикален. Значит, угол, образованный рейкой-касательной и прямой КО, должен быть равен 90 - β. Отсюда из геометрии конуса легко прийти к тому же соотношению tg β = sin α tg γ, при котором каток остается неподвижен. Меняя один из углов, мы смещаем точку К. Соответственно, для биконуса горка оказывается «горизонтальной» либо наклонной «вправо» или «влево».
Теперь, когда ясен смысл критического соотношения, его можно не только проверить на практике, измерив транспортиром все углы, но и применить для видоизменения опыта. Так, становится ясно, что не обязательно использовать каток, имеющий вид биконуса типа «поплавок», т.е. конусы можно соединить не только основаниями, но и вершинами - получим биконус типа «катушка». Это будет соответствовать изменению угла γ на -γ. Значит, надо сменить и знак угла β - чтобы рейки соединялись уже не узкими, а широкими концами.
Иллюзию поднятия катка вверх по горке можно усилить, если сделать угол β большим - градусов в 45. Понятно, что одновременно надо увеличить углы α и γ, так что в итоге каток станет больше похож на две сложенные вместе тарелки. Или можно попробовать сделать опускание центра тяжести малозаметным, для чего надо предельно уменьшить угол α, чтобы рейки выглядели почти параллельными, а угол γ, напротив, сделать большим. А чтобы размер катка был не слишком велик и его конусность не бросалась в глаза, надо оставить только его концевые части, катящиеся по рейкам как колеса вагонов но рельсам, Поэтому конусные колеса должны соединяться не основаниями или вершинами, а общей осью. Если теперь присоединить проволокой пару таких колесных осей (а проще - пару простых катушек) к коробку, получится настоящая тележка-самокатка, способная ехать в гору, с которой другие предметы (цилиндры и бруски) съезжают. Такая тележка кажется чудом - столь сложно у нее заметить снижение центра масс при въезде в горку. Если же соединить колеса с тележкой жестко и смазать «рельсы», можно получить и сани, «въезжающие в гору».
Теперь можно рассмотрен, и более сложные варианты. Что будет, если мы изогнем картонные рейки так, что угол α будет изменяться вдоль горки (рис. 5)? Если угол α нарастает, то каток будет выше некоторой критической точки закатываться вверх, а ниже ее - спускаться вниз, т.е. будет всегда удаляться от этой точки. Если же картонные рейки постепенно сходятся и угол α уменьшается, каток будет всегда стремиться к точке с критическим углом α. Доехав до нее, он станет, как в яме, кататься туда-сюда, пока не замрет в этой точке.
Другой вариант - это когда рейки плоские (угол α постоянен), зато меняется угол β - гора меняет наклон (рис. 6). На ней тоже будет критическая точка при некотором угле β, являющаяся точкой устойчивого равновесия катка, смотря по тому погнута горка или выпукла.
Наконец, третий вариант - углы α и β постоянны, по меняется угол γ. Такое возможно, если мы используем каток не из конусов, а из других тел вращения, имеющих криволинейную образующую. Например, каток, сделанный из двух пластиковых бутылок не с конусной, а с закругленной верхушкой (рис. 7). Также можно использовать вместо конических скругленные наконечники от ручек или же шарики для пинг-понга. Для каждого из таких катков есть свое определенное критическое место на горке, в точке контакта с которым угол γ равен критическому. Положенный выше этого места каток катится вверх, а ниже - вниз. Для того, чтобы эта точка служила местом устойчивого равновесия, необходимо применять катки с вогнутой поверхностью.
Возможны и сложные комбинации всех трех вариантов.
Но может ли все это иметь практическое применение? Нельзя ли, к примеру, построить железную дорогу, идущую «под гору» в обе стороны, чтобы поезд сам по себе, без затрат энергии, мог доехать туда и обратно? Казалось бы, достаточно уложить рельсы наподобие наклонных расходящихся реек и сделать поезду два комплекта колес - одни с углом γ, большим критического, другие - с меньшим. Доехал поезд до конечной станции, сменили ему колеса, и он сам пойдет назад. А как доедет, ему снова сменят колеса, и он тронется в обратный путь.
Конечно, такой поезд, сам идущий и оба конца, невозможен, как и любой вечный двигатель. Это ясно из энергетических соображений. Раз центр масс всегда опускается, то, чтобы поезд сам шел туда и обратно, на конечных станциях придется либо поднимать его, затрачивая при этом энергию, либо уменьшать размеры колес, пока они не станут нулевыми.
Так что каких чудо-паровозов и едущих в гору тележек ни выдумывай, все равно обнаружится какой-нибудь обман.
