Kvant. Искажение сигнала

Дворянинов С. Легенда об искажении сигнала //Квант. — 2009. — № 1. — С. 43-44

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Однажды фараон снарядил экспедицию для разведки нового торгового пути, строго-настрого приказав начальнику отряда отправлять гонца с донесением в первопрестольную через каждые двое суток. Не смели ослушаться подчиненные этого приказа. Точно по расписанию садился очередной гонец на коня и направлялся в столицу к фараону. Каково же было изумление начальника отряда, когда после удачного возвращения могущественный владыка встретил его с мрачным видом и обвинил в непослушании. Оказывается, гонцы начали прибывать к нему с интервалом в трое суток, а под конец ни с того ни с сего вдруг стали появляться через каждые сутки.

История умалчивает о дальнейшей судьбе начальника экспедиции. А какое можно было бы придумать оправдание, оказавшись на его месте?

Приведем один из возможных вариантов. На рисунке показаны графики движения экспедиции (синяя ломаная) и гонцов (красные отрезки). Скорость гонцов в два раза превышает скорость экспедиции. Из рисунка видно, что гонцы с донесением отправлялись точно в соответствии с приказом фараона через двое суток, а прибывали в столицу сначала с интервалом в трое суток, а затем через сутки.

История грозного фараона является красивой наглядной иллюстрацией известного физического эффекта - эффекта Доплера (точнее - продольного эффекта Доплера), который имеет огромное научное и практическое значение.

В 1842 году Кристиан Доплер (1803-1853) дал математическое описание следующему наблюдаемому эффекту. Пусть имеются источник, испускающий волну, и наблюдатель, принимающий эту волну. Тогда если источник или наблюдатель движутся относительно неподвижной среды так, что расстояние между ними меняется, то частота (период) волны, принимаемой наблюдателем, отличается от частоты излучаемой волны. Так, если расстояние между источником и наблюдателем уменьшается, то частота принимаемой волны оказывается больше, чем частота испускаемой, т.е. частота увеличивается, а если расстояние увеличивается, то частота уменьшается. Именно этот эффект проявился в описанной выше правдивой истории: пока отряд (источник сигналов-гонцов) удалялся от фараона (неподвижного наблюдателя), частота приема сигнала уменьшалась, а когда отряд стал приближаться к фараону, частота увеличивалась. Правда, в тексте речь шла не о частоте испускания и приема сигналов, а об обратной величине - периоде, т.е. об интервале времени между испускаемыми или принимаемыми сигналами.

Какими же формулами описывается эффект Доплера? Начнем с нашей истории, т.е. со случая, когда источник движется, а наблюдатель неподвижен. Пусть \(~\upsilon_i\) - скорость, с которой источник удаляется от наблюдателя, \(~N_i\) - период испускания сигналов, \(~V\) - скорость сигнала. К моменту испускания следующего сигнала предыдущий сигнал перемещается в сторону наблюдателя на расстояние \(~VT_i\) а сам источник проходит в противоположном направлении расстояние \(~\upsilon_i T_i.\) Значит, расстояние между двумя сигналами (двумя гонцами, двумя гребнями волны) равно \(~\lambda = (\upsilon_i + V) T_i .\) Поскольку оба сигнала движутся со скоростью \(~V,\) то интервал времени между приемами этих сигналов неподвижным наблюдателем равен

\(~T_n = \frac{\lambda}{V} = T_i\frac{V+\upsilon_i}{V}.\)

Если источник приближается к наблюдателю, то скорость источника в этой формуле надо считать отрицательной. В описанной истории скорость отряда \(~\upsilon_i\) была в два раза меньше скорости гонцов \(~V,\) поэтому период приема (время между прибытиями гонцов) сначала в полтора раза увеличивался, а потом в два раза уменьшался.

Рассмотрим теперь второй вариант: источник неподвижен, а наблюдатель удаляется от него со скоростью \(~\upsilon_n\) (если наблюдатель приближается к источнику, то \(~\upsilon_n < 0\)). Такому варианту соответствовала бы история, в которой фараон путешествует, а его помощники шлют к нему из столицы гонцов с информацией. В этом случае изменение периода описывается немного другой формулой. Расстояние между сигналами равно теперь \(~\lambda = VT_i ,\) а время между приемами двух последовательных сигналов составляет

\(~T_n = \frac{\lambda}{V-\upsilon_n} = T_i\frac{V}{V-\upsilon_n}\)

Если, как и в первой истории, скорость отряда с фараоном будет в два раза меньше скорости гонцов, то при удалении отряда период увеличивается в два раза, а при приближении отряда к столице период приема уменьшается и составляет 2/3 от периода испускания (отправки гонцов из столицы).

Если же движутся и источник, и наблюдатель, то изменение периода описывается такой общей формулой:

\(~T_n = T_i\frac{V+\upsilon_i}{V-\upsilon_n}\)

где \(~\upsilon_i\) - скорость удаления источника от наблюдателя, \(~\upsilon_n\) - скорость удаления наблюдателя от источника. Соответствующая формула для частоты \(~\nu = 1 / T\) имеет вид

\(~\nu_n = \nu_i \frac{V-\upsilon_n}{V+\upsilon_i}\)

Отметим, что все приведенные формулы относятся к случаю движения вдоль одной прямой.

Эффект Доплера для звуковых волн легко, например, обнаружить, наблюдая за приближающейся электричкой.

Если мимо железнодорожной платформы проносится гудящий поезд, то сначала слышен высокий звук (частота звуковой волны на слух воспринимается как высота звука), затем, по мере удаления поезда, звук становится все ниже и ниже.

Эффект Доплера проявляется и по отношению к электромагнитным волнам, в частности - к распространению света. Правда, в этом случае формулы для эффекта Доплера несколько видоизменяются. Электромагнитные волны распространяются в вакууме, а не в среде, и в ответ может входить только относительная скорость наблюдателя и источника \(~\upsilon.\) Поэтому вместо двух формул - для движения наблюдателя и для движения источника - остается только одна:

\(~\nu_n = \nu_i \sqrt\frac{V-\upsilon}{V+\upsilon}\)

Эта формула выводится в рамках специальной теории относительности.

Представим, что на коне мчится всадник, держащий в руках фонарь зеленого цвета. Частоты световых волн возрастают при переходе от красного цвета к фиолетовому. Так вот, если всадник с фонарем удаляется от нас, то цвет воспринимаемого нами света будет казаться нам менее зелеными и более желтым. Но об этом можно говорить только теоретически: дробь \(~\frac{\upsilon}{V}\) для скоростей света V = 300000 км/с и всадника \(~\upsilon \ll V\) настолько мала, что ее вряд ли стоит принимать в расчет. Другое дело - космические объекты: галактики, удаляющиеся от нас с огромными скоростями. В световом спектре галактик приборы регистрируют смещение в сторону красного цвета, значит, галактики разбегаются друг от друга, что свидетельствует о расширении Вселенной.

Поскольку эффект Доплера позволяет измерять скорость недоступного источника излучения волн по смещению их спектральных линий, то он становится удобным инструментом во многих областях науки и техники: в астрофизике, спектроскопии, радио- и гидролокации и других.