Kvant. Закон всемирного тяготения2

Смородинский Я. Закон всемирного тяготения //Квант. — 1990. — № 12. — С. 8-13,51.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Я убежден, что Исаак Ньютон
То яблоко, которое открыло
Ему закон земного тяготения.
Что он его,
В конечном счете, — съел...
Дж. Байрон. Дон Жуан, песнь X

В современной физике есть постоянные, которые называют фундаментальными. Среди них скорость света c, заряд электрона е, масса электрона m, гравитационная постоянная G, постоянная Планка h. Эти постоянные входят в формулы, описывающие физические процессы в микромире и в космическом пространстве. Фундаментальность этих постоянных в том, что их значения не изменяются ни со временем, ни с местом в пространстве. Где бы мы ни измеряли эти постоянные, мы всегда получим одни и те же значения. Физики знают, что эти постоянные не изменились сколь-нибудь заметно за миллиарды лет эволюции Вселенной.

Эта статья была опубликована в «Кванте» № 6 за 1977 год. Первую фундаментальную постоянную — гравитационную постоянную G — ввел в физику Исаак Ньютон. Появилась она с открытием закона всемирного тяготения.

В истории этого открытия много удивительного и интересного. Забавна легенда о том, как Ньютон открыл этот закон, сидя под яблоней, когда ему на голову упало яблоко. Интересно, как Ньютон смог доказать справедливость этого закона, изучая движение Луны. Удивительно, сколь точным оказался этот закон.

Но самым удивительным было то, с какой смелостью Ньютон объявил, что закон тяготения есть всеобщий закон, который определяет взаимодействие любых тел во Вселенной.

Из равенства ускорений всех падающих тел он заключил, что сила, действующая на падающее тело, пропорциональна массе этого тела; сила, с которой Луна притягивается Землей, должна быть пропорциональна как массе Луны, так и массе Земли, поскольку можно с таким же успехом считать, что Земля притягивается Луной.

Это было главное в открытии Ньютона. Но Ньютон понял и то, что, хотя для разных тел ускорение должно быть одним и тем же, оно должно уменьшаться с возрастанием расстояния между притягивающимися телами.

В своем сочинении «Математические начала натуральной философии», вышедшем в Англии в 1686 году, Ньютон подвел итог своим многолетним исследованиям в механике; он излагает, как он нашел зависимость сил притяжения между телами от расстояния между ними.

Проще всего было бы вывести этот закон для движения по окружности (мы это и сделаем ниже); но планеты движутся по эллипсам, и надо было доказать, что из того же закона можно получить и эллиптическую траекторию.

В своей книге Ньютон формулирует четыре правила, которыми должен руководствоваться естествоиспытатель. Он называет эти правила «правилами философствования». Мы приведем их полностью:

«Правило I. Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснения явлений.

Правило II. Поэтому, поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы.

Правило III. Такие: свойства тел, которые не могут быть ни усиляемы, ни ослабляемы и которые оказываются присущими всем телам, над которыми возможно производить испытания, должны быть почитаемы за свойства всех тел вообще.

Правило IV. В опытной физике предложения, выведенные из совершающихся явлений помощью наведения, несмотря на возможность противных им предположений, должны быть почитаемы за верные или в точности или приближенно, пока не обнаружатся такие явления, которыми они еще более уточняются или же окажутся подтвержденными исключениям. »

Правило III позволяет Ньютону сделать следующий вывод: «...Опытами и астрономическими наблюдениями устанавливается, что все тела по соседству с Землей тяготеют к Земле, и притом пропорционально количеству материи каждого из них; так, Луна тяготеет к Земле пропорционально своей массе, и взаимно наши моря тяготеют к Луне, все планеты тяготеют друг к другу, подобно этому и тяготение комет к Солнцу. На основании этого правила надо утверждать, что все тела тяготеют друг к другу». Зависимость сил тяготения от расстояния Ньютон сформулировал так: «Если времена находятся в полукубическом отношении радиусов, то центростремительные силы обратно пропорциональны квадратам радиусов...» Первая половина этой теоремы есть просто третий закон Кеплера:

\(~\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_1^{\frac 32}}{R_2^{\frac 32}}\)

— периоды обращения планет относятся как полукубические степени (степени 3/2) радиусов их орбит. Центростремительная же сила есть та сила, которая заставляет планеты падать на Солнце, т. е. сила притяжения планет Солнцем.

Книга Ньютона была первой книгой, где механика излагалась как точная наука; эту книгу нужно считать первой книгой по теоретической физике и считать год выхода книги — 1686 год — годом рождения теоретической физики. Влияние этой книги на науку было огромным. После нее уже нельзя было ограничиться только рассуждениями, словесными описаниями явлений природы — надо было создавать их теорию. А правильность теории может быть установлена только опытной проверкой: если предсказания теории совпадают с данными опытов, наблюдений,— теория верна. Создание Ньютоном и Лейбницем математического анализа дало средства для выполнения этой программы.

* * *

Еще древние греки создали первую теорию движения планет. Эта теория была изложена Птолемеем в трактате «Альмагест». Но она совсем не касалась вопроса о том, почему движутся планеты. Такой вопрос и не возникал. Следуя учению Аристотеля, греки считали, что планетам свойственно движение по окружностям, подобно тому как тяжелым телам свойственно падать, а легким, как дым, подыматься вверх. Даже в средние века рассуждать о причинах движения планет значило смешивать астрономию с физикой, что было по представлениям того времени не позволительно; законы небесные и земные принадлежали разным областям,и в них не следовало искать чего-либо общего.

Все же Коперник в 1543 году говорил о том, что тяжесть — это общее свойство тел, «...стремление, благодаря которому они, смыкаясь в форме шара, образуют единое целое. И следует допустить, что это стремление присуще также Солнцу, Луне и остальным планетам...».

Кеплер (а до Кеплера еще и Гильберт) сравнивал тяжесть с магнитным действием. При этом Кеплер был первым, кто объявил задачу о движении планет физической задачей, и первым, кто ясно поставил вопрос, почему движутся планеты, в то время как все остальные астрономы лишь придумывали геометрические модели, которые описывали, как движутся планеты. Физики времен Галилея и Кеплера решали физические задачи, составляя пропорции. Так, о падении тел на Земле говорилось, что если промежутки времени расположить в форме арифметической прогрессии, то отрезки путей, проходимых телом за последовательные промежутки времени, будут относиться как квадраты последовательных чисел. Галилей знал, что все тела на Земле падают с одинаковым ускорением; он вполне мог объяснить, почему брошенное на Землю тело летит по параболе. Описывая полет снаряда, он говорил, что это движение складывается из равноускоренного падения и равномерного прямолинейного движения по инерции, и не задавался вопросом о том, почему снаряд падает равноускоренно. Очень трудно было прийти к мысли, что ускорение зависит от высоты. Галилей считал, что даже Луна (если остановить ее поступательное движение) будет падать на Землю с тем же ускорением, с каким камень падает на Земле.

Правда, Галилей считал, что и для Луны должен выполняться «земной» закон независимости ускорения свободного падения от массы. Так что «половину» задачи он понимал правильно! Но Галилей никак не мог воспринять идею, что Земля притягивает камень. Падение камня (Луны) на Землю есть просто проявление стремления всех тел собраться поближе к одному центру, собраться в некую шарообразную «кучу». В то время считалось очевидным, что одно тело может действовать на другое, только соприкасаясь с ним. Действие на расстоянии казалось просто немыслимым. Поэтому Галилей отверг идею Кеплера о том, что приливы и отливы на Земле связаны с притяжением Луной вод океанов. К времени Ньютона положение начало изменяться.

Не все слепо следовали за Галилеем. Так, Роберт Гук, основываясь на аналогии тяжести с притяжением магнита, пытался в 1666 году опытным путем определить, как изменяется вес тела с высотой. Он проводил опыты с маятниками разной длины в Вестминстерском аббатстве в Лондоне. Ясно, что обнаружить что-либо существенное он так и не смог. Даже высказывая предположение о том, что сила притяжения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, он не смог облечь свои мысли в строгую форму уравнений. Гук не умел еще ни писать уравнений, ни решать их и потому не смог проверить справедливость этого предположения. Также ничего не смог сделать и другой знаменитый в то время механик англичанин Рен. Рен также говорил о законе обратных квадратов, но и у него все ограничивалось словами.

Только в руках Ньютона все стало на свои места. Первая, и главная, идея пришла ему в голову ь 1665 году, когда он спасался от чумы в своем родовом поместье. Как рассказывают, все дело началось с яблока, упавшего с дерева. 23-летнего ученого поразила мысль, что причина, заставляющая яблоко падать на Землю, должна быть родственна причине, заставляющей Луну отклоняться от своего прямолинейного пути. Сейчас это кажется очевидным, но во времена Ньютона сама мысль о подчинении космических тел простым земным законам была необычайно смелой. Но одно дело поверить самому в смелую гипотезу, а другое — убедить в ее справедливости других. Для этого надо, по крайней мере, найти способ ее проверки, найти способ, как мы говорим сейчас, сравнить теорию с опытом.

Лучше всего было начать с исследования движения Луны, используя имеющиеся результаты наблюдений. Это требовало сил и времени. Нью тон, кроме того, был еще занят оптическими исследованиями; и вообще ученые того времени обычно не торопились с публикациями. Вероятно, поэтому лишь через 20 лет — в апреле 1686 года — Ньютон представил Королевскому обществу (Английской академии наук) первый том «Начал», а весь труд был опубликован к середине 1687 года. Только тогда теория была выдана на суд других физиков.

* * *

Напишем закон всемирного тяготения для Солнца и планеты (обозначая их массы М и m). Сила притяжения

\(~F = G \frac{Mm}{r^2}.\)

Ускорение, сообщаемое этой силой планете,

\(~a = G \frac{M}{r^2}.\)

Как же Ньютон получил эти формулы?

В своих поисках закона тяготения Ньютон исходил из третьего закона Кеплера: квадраты средних времен обращения планет относятся как кубы их средних расстояний от Солнца. (Этот закон Ньютон называет полукубическим отношением.) Еще тогда, когда Ньютон сравнивал падение яблока и Луны, он знал, что, если тело движется по окружности, на это тело действует сила, притягивающая его к центру окружности; он знал также, что центростремительное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально расстоянию.

Правда, честь открытия законов кругового движения приписывается Гюйгенсу, но Гюйгенс опубликовал свое открытие лишь в 1673 году (хотя знал о нем еще в 1659). Ньютону пришлось поэтому разбираться во всем самому.

Ньютон рассуждал примерно так. Третий закон Кеплера гласит, что для планет одной системы

\(~\frac{R^3_1}{T^2_1} = \frac{R^3_2}{T^2_2} = \ldots = \operatorname{const}.\)

Пусть планеты движутся по окружностям. Введем угловую скорость вращения планеты по орбите \(~\omega = \frac{2 \pi}{T}\). Тогда третий закон Кеплера примет вид:

\(~\omega^2_1 R^3_1 = \omega^2_2 R^3_2 = \ldots = \operatorname{const}.\)

Предположим теперь, что сила взаимодействия планеты с Солнцем пропорциональна некоторой степени расстояния:

\(~F \sim R^n.\)

Этой же степени R пропорционально и ускорение планеты:

\(~a = CR^n,\)

где С — некоторая константа. Так как \(~a = \omega^2 R\),

\(~\omega^2 = CR^{n - 1}.\)

Какова должна быть степень n, чтобы произведение \(~\omega^2 R^3\) было постоянным? Так как

\(~\omega^2 R^3 = CR^{n - 1} R^3 = CR^{n + 2},\)

то ясно, что произведение \(~\omega^2 R^3\) не зависит от R, если n = -2. Тогда

\(~\omega^2 R^3 = C.\)

Ньютон также предположил, что постоянная C пропорциональна массе притягивающего тела, т. е. Солнца:

\(~C = GM_c.\)

Постоянная G и есть гравитационная постоянная, которая, по предположению Ньютона, уже не зависит ни от каких других величин. Итак,

\(~a = G \frac{M_c}{R^2}.\)

Следовательно, сила, сообщающая планете массой m это ускорение, т. е. сила взаимодействия планеты с Солнцем, равна

\(~F = G \frac{M_cm}{R^2}.\)

В этом выводе, однако, задача слишком упрощена. На самом деле она значительно сложнее.

Вводя в формулу одно-единственное расстояние R, мы рассуждали так, как будто бы Солнце — материальная точка, не имеющая размеров. Но Ньютон понимал, что, для того чтобы проверить закон тяготения, например, по движению Луны, надо уметь решать задачу для тела конечного размера, просуммировав как-то вклады от разных частей Земли и Луны. Задача была сложной, и ее решение было получено не скоро. Вероятно, это было главной причиной, почему Ньютон так долго не публиковал свое открытие.

Результаты решения этой сложной задачи Ньютон представил в виде теорем. Для однородных по плотности тел формула для закона притяжения выглядит так, как будто бы вся масса тела сосредоточена в его центре. Ньютон доказал, что сферический слой однородной плотности притягивается другими телами и, по закону равенства действия и противодействия, притягивает сам другие тела так, как будто вся его масса сосредоточена в центре. Если представить себе шар сложенным из сферических слоев, то можно видеть, как вычислять поле тяготения тела со сферически симметричным распределением массы. Эти теоремы Ньютона решили дело. Теперь в выражении для силы, действующей между Луной и Землей, под R следовало понимать расстояние между центрами этих тел. Замена реальных Земли и Луны телами со сферически симметричным распределением масс оказалась настолько хорошим приближением, что только в последние годы, при расчетах траекторий спутников, пришлось уточнять формулы.

Была и еще одна причина, которая, по-видимому, мешала Ньютону опубликовать его исследования закона тяготения. Ньютон не имел точного значения радиуса Земли, и сравнение расчетов с результатами наблюдений не давало хорошего согласия. Только после того, как Пикар измерил радиус Земли с большой точностью (ошибка не превышала 0,03 %), исчезли расхождения.

Теперь можно было доказать самое главное. Доказать, что из закона всемирного тяготения следует, что траекториями планет будут эллипсы, а траекториями комет — гиперболы.

Необходимость такого доказательства была четко сформулирована в январе 1684 года во время беседы трех английских физиков — Галлея, Рена и Гука. Рен даже объявил приз — книгу, которую он отдаст тому, кто в течение двух месяцев решит задачу. Приз так и не был вручен. В мае Галлей предлагает эту задачу Ньютону, который и прислал ему через полгода нужное доказательство.

В «Началах» Ньютон излагает решение обратной задачи: он находит, каков должен быть закон взаимодействия, чтобы траекторией был эллипс, и показывает, что это должен быть закон «обратных квадратов». Более того, Ньютон доказывает, что если бы закон сил, действующих между планетой и Солнцем, хотя бы немного отклонился от закона обратных квадратов, то точки наибольшего и наименьшего удаления планеты от Солнца не были бы неподвижны в пространстве. А из наблюдений было известно, что эти точки (их называют апсидами) почти неподвижны. Это доказательство Ньютона — одно из самых блестящих в астрономии.

Обратим еще раз внимание на сказанное: можно утверждать, что закон обратных квадратов для сил притяжения следует из одного только факта неподвижности апсид; так что расчеты силы притяжения с помощью третьего закона Кеплера излишни; на самом деле третий закон является следствием первого. Этого, конечно, Кеплер знать не мог.

* * *

Что есть слава? Порождение случая! Сэр Исаак Ньютон открыл, что яблоки падают на землю, —
честное слово, такие пустяковые открытия делали до него миллионы людей. Но у Ньютона
были влиятельные родители, и они раздули этот банальный случай в чрезвычайное событие,
а простаки подхватили их крик. И вот в одно мгновение Ньютон стал знаменит!!
Марк Твен. Когда я служил оператором

Много лет теория Ньютона была основой небесной механики, и хотя многие пытались обнаружить какие- либо поправки к закону всемирного тяготения, найти их удалось только Эйнштейну. Сейчас мы знаем, когда закон всемирного тяготения становится неточным, и умеем вычислять к нему поправки. Закон тяготения верен до тех пор, пока расстояние между телами много больше так называемого гравитационного радиуса притягивающего тела. Гравитационным радиусом тела массой М называют величину

\(~R_g = \frac{2GM}{c^2}.\)

где GM = C — это известная уже нам «постоянная Кеплера», а c — скорость света. Для Солнца гравитационный радиус равен 3 км, а для Земли — 7 мм. Отсюда мы можем заключить, что закон всемирного тяготения на поверхности Земли может иметь относительную ошибку, равную примерно \(~\frac{7 \cdot 10^{-3}}{6,4 \cdot 10^6} \approx 10^{-9}\) (радиус Земли ≈ 6400 км), а на поверхности Солнца — \(~\frac{3 \cdot 10^3}{7 \cdot 10^8} \approx 0,4 \cdot 10^{-5}\) (радиус Солнца ≈ 700 000 км).

На расстоянии, равном расстоянию от Солнца до Меркурия (около 50 млн. км), мы можем ожидать ошибку в законе всемирного тяготения порядка \(~\frac{3 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^{10}} = 0,6 \cdot 10^{-7}\). Хотя ошибка и очень мала, но она приводит к наблюдаемому эффекту.

Это связано с указанным Ньютоном свойством апсид «отзываться» своим движением на нарушение закона обратных квадратов. Из-за малой поправки эллиптическая орбита Меркурия медленно поворачивается в пространстве. Это движение (в сторону обращения Меркурия на орбите) накладывается на движение, связанное с возмущающим действием Юпитера, которое объясняется ньютоновской теорией. За 100 лет накапливается дополнительное смещение 43", объяснение которого было дано лишь общей теорией относительности.

Не всегда поправки общей теории относительности столь малы. В глубинах космоса есть области, в которых эффекты общей теории относительности оказываются основными. Это — недра тяжелых звезд, ядра галактик. При описании Вселенной как физической системы основным «инструментом» является общая теория относительности. Но дорогу к таким исследованиям открыл Ньютон. Он был первым, кто создал методы теоретической физики, и первым применил эти методы к изучению Вселенной.