Kvant. Закон всемирного тяготения

Городецкий Е.Е. Закон всемирного тяготения //Квант. — 1987. — № 11. — С. 36-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Есть люди, чья жизнь и деятельность служат настоящим водоразделом в истории человечества. Именно таким человеком был великий английский мыслитель Ньютон, открывший в 1667 году закон всемирного тяготения. Попробуем воспроизвести соответствующие рассуждения Ньютона. Сначала несколько слов о том, что предшествовало открытию. Кеплер, изучая на протяжении ряда лет таблицы движения планет, завещанные ему его учителем Тихо Браге, в начале XVII века формулирует три необыкновенно компактных и изящных закона (которые теперь называют законами Кеплера):

1. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус, проведенный от Солнца до планеты, «заметает» равные площади в равные промежутки времени.
3. Квадраты периодов двух планет (T₁ и T₂) относятся как кубы больших полуосей их орбит (R₁ и R₂)\[~\frac{T^2_1}{T^2_2} = \frac{R^3_1}{R^3_2}\] (или, иначе, \(~\frac{T^2_1}{R^3_1} = \operatorname{const}\) для всех планет).

Уже из этих законов чувствуется, что Солнце играет какую-то особую роль в «планетной жизни». Однако сам Кеплер, несмотря на мучительные попытки, не смог до конца понять эту роль.

Приблизительно в то же время, когда Кеплер открывает законы движения планет, Галилей формулирует закон инерции, утверждающий, что, если на тело ничего не действует, оно будет двигаться с постоянной скоростью и по прямой.

Вот с этого уровня и стартовал Ньютон. Прежде всего, развивая идеи Галилея, он задается вопросом: если телам внутренне присуще свойство сохранять свою скорость, то за счет чего же все-таки она может меняться? Отвечая на этот вопрос, он формулирует закон, известный сегодня любому школьнику (второй закон Ньютона): для того чтобы изменить скорость тела, надо подействовать на него силой. При этом изменение скорости за единицу времени (т. е. ускорение a) прямо пропорционально силе (F) и обратно пропорционально массе (m) тела\[~a = \frac{F}{m}\]. Из закона, открытого Ньютоном, видно, что чем больше масса тела, тем неохотнее оно меняет свою скорость. В этом смысле говорят, что масса тела — это мера его инертности.

Гениальность Ньютона состояла, в частности, в том, что, рассматривая какое-то конкретное физическое явление (например, движение тела под действием силы), он всегда имел в виду весь мир в целом. Естественно поэтому, что Ньютон пытается применить сформулированные им законы динамики к описанию движения планет. Вывод напрашивается сам собой: никакой силы, подгоняющей планеты в их движении по орбите, не нужно. Наоборот, нужна сила, не позволяющая планетам улететь по прямой линии (в соответствии с законом инерции) и заворачивающая их каждый раз на круговые или близкие к круговым орбиты. Другими словами, на планеты должна действовать сила, направленная не вдоль, а поперек движения. А раз так, то не остается ничего другого, как предположить, что источником этой силы является Солнце.

Дальше все было просто. Ускорение планеты при ее движении по круговой орбите равно \(~a = \omega^2 R = \frac{4 \pi^2}{T^2} R\) (обычное центростремительное ускорение). Подставляя это выражение в свой собственный закон (\(~a = \frac{F}{m}\)), Ньютон получает

\(~\frac{4 \pi^2}{T^2} R = \frac{F}{m}\) .

Здесь F — та самая сила, которая действует на планету со стороны Солнца, a m — масса планеты. Используя третий закон Кеплера, Ньютон приходит к выводу, что величина \(~\frac{F}{m} \sim \frac{1}{R^2}\) и не зависит от характеристик планеты, т. е. сила, действующая на планету со стороны Солнца,

\(~F = \operatorname{const} \cdot \frac{m}{R^2}\) .

Размышляя о том, от чего бы могла зависеть величина входящей в это выражение константы, Ньютон постулирует, что она определяется только массой Солнца (М). (Почему? Да просто так ему казалось естественным.) Вот так и возникло знаменитое и одновременно столь привычное сегодня выражение

\(~F = G \frac{mM}{R^2}\) .

Величина коэффициента G ни от чего не зависит и является мировой константой (она получила название гравитационной постоянной).

Дальнейший анализ движения планет показал, что при такой силе автоматически выполняются и первые два закона Кеплера. Это уже был большой успех. Воодушевленный им, Ньютон пытается описать движение Луны вокруг Земли и, хотя и с некоторыми приключениями, получает превосходное согласие своих расчетов с экспериментом.

И тут Ньютон решается на потрясающее по своей силе обобщение. Он утверждает, что открытая им сила никоим образом не связана со спецификой небесных тел, а является универсальным свойством любых объектов природы. Так был сформулирован закон всемирного тяготения: сила, действующая между двумя любыми телами с массами m₁ и m₂,

\(~F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}\) .

Вопрос о том, почему те самые массы, которые характеризуют стремление тел сохранять свое движение (т. е. являются мерой их инертности), одновременно определяют и взаимное притяжение тел друг к другу, волновал много поколений ученых и явился впоследствии отправной точкой для построения Эйнштейном общей теории относительности.

Коль скоро закон всемирного тяготения применим к любым телам, появилась возможность экспериментально измерить величину гравитационной постоянной G. Она оказалась невероятно малой:

\(~G = 6,67 \cdot 10^{-11}\) Н·м²/кг².

Это означает, что гравитационные силы очень слабые. Именно поэтому мы совершенно не замечаем гравитационного притяжения между окружающими нас телами. Эта сила становится заметной только тогда, когда хотя бы одно из тел очень большое (такое, как Земля, Солнце и т. п.).

Строго говоря, выражение для силы тяготения в написанном нами виде справедливо только для материальных точек (т. е. для тел, размеры которых много меньше расстояния между ними). Ну, а если это не так? Тогда каждое из тел надо мысленно разбить на маленькие элементики (приблизительно точечные), вычислить силу взаимодействия между такими элементиками, а потом все силы геометрически сложить. (В общем случае это довольно громоздкая процедура, а выражение для результирующей силы может оказаться столь сложным, что его попросту невозможно записать в виде конечной формулы.)

Дальнейшие 150 лет были годами настоящего триумфа ньютоновской картины мира. Стали понятны причины океанских приливов и связь ускорения свободного падения с плотностью залегающих в данном месте пород. Были объяснены тончайшие детали в движении планет, их спутников, да и любых других небесных тел. На настоящее чудо было похоже чисто теоретическое предсказание существования восьмой планеты Солнечной системы — Нептуна (1846 г.). Причем англичанин Адаме и француз Леверрье не просто предсказали ее существование, но и вычислили, в какое время и куда надо направить телескопы, чтобы ее увидеть. И все произошло в точном соответствии с их расчетами. Такая же история произошла и с открытием девятой планеты — Плутона (1930 г.) Движение двойных звезд и форма звездных скоплений, структура галактик и их взаимодействие друг с другом — все подчиняется открытому Ньютоном закону всемирного тяготения.

Успехи были столь велики, что возникла иллюзия, будто все в мире описывается с помощью законов Ньютона. К сожалению (а может, наоборот, к счастью), действительность оказалась гораздо богаче. Научная революция XX века привела к созданию новой картины мира, в которой законы Ньютона нашли свое точное место среди других фундаментальных законов природы.