Processing math: 100%
PhysBook
PhysBook
Представиться системе

Kvant. Закон Бернулли

Материал из PhysBook

Асламазов Л.Г. Закон Бернулли //Квант. — 1984. — № 5. — С. 33-34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В учебнике «Физика 8» рассказывается о зависимости давления р жидкости от скорости υ ее движения. Выведем формулу, связывающую эти величины количественно.

Img Kvant-1984-05-001.jpg

Будем считать, что труба, по которой течет жидкость, имеет широкий и узкий участки. Труба расположена горизонтально, так что потенциальная энергия жидкости в поле тяжести при течении не меняется. Выделим объем жидкости, ограниченный сечениями S1 и S2, где скорость жидкости равна υ1 и υ2 соответственно (см. рисунок). Этот объем при течении жидкости перемещается вправо. Через промежуток времени Δt он займет положение между сечениями S’1 и S’2, показанными на рисунке штриховыми линиями.

Так как жидкость несжимаема, уменьшение объема жидкости в широком участке трубы равно его приращению в узком участке:

 S1υ1Δt=S2υ2Δt или  S1υ1=S2υ2 .

Но что значит — жидкость несжимаема? Когда так говорят, имеют в виду только то обстоятельство, что изменения объема жидкости относительно малы. Небольшие деформации жидкости имеются всегда, и именно они приводят к возникновению сил давления — упругих сил сжатия жидкости.

На выделенный объем жидкости действуют силы давления с двух сторон - со стороны жидкости, следующей за ним, и со стороны жидкости, находящейся впереди. При перемещении этого объема силы давления совершают работу. Согласно теореме о кинетической энергии, полная работа сил давления равна изменению кинетической энергии жидкости:

 A=Ek2Ek2 .

Подсчитаем работу А сил давления. В сечении S1 давление жидкости равно p1, и сила давления F1 = p1S1. За время Δt это сечение перемещается вправо на расстояние υ1Δt, и, следовательно, сила  F1 направленная вдоль перемещения, совершает работу

 A1=F1υ1Δt=p1S1υ1Δt .

В сечении S2 действует сила давления  F2 (F2 = p2S2), направленная противоположно перемещению. Работа этой силы отрицательна:

 A2=F2υ2Δt=p2S2υ2Δt .

Полная работа сил давления

 A=A1+A2=(p1S1υ1p2S2υ2)Δt .

Вот эта работа и равна увеличению кинетической энергии жидкости.

Теперь найдем разность кинетических энергий выделенного объема жидкости до и после перемещения. Очевидно, что энергия жидкости между сечениями S’1 и S2 не изменяется. Поэтому общее изменение энергии будет таким, как если бы часть жидкости, заключенная между сечениями S1 и S’1, заняла место жидкости, заключенной между сечениями S’2 и S’2.

Кинетическая энергия массы жидкости m1, протекающей за время Δt через сечение S1 (то есть жидкости в объеме между сечениями S1 и S’1), равна

 Ek1=m1υ212=ρυ1ΔtS1υ212 .

где (ρ — плотность жидкости. Для сечения S2 кинетическая энергия соответственно равна

 Ek2=ρυ2ΔtS2υ222 .

Следовательно, за время Δt кинетическая энергия выделенного объема жидкости изменилась на величину

 Ek2Ek1=(ρυ2S2υ222ρυ1S1υ212)Δt .

Приравняем эту разность работе А:

 ρυ2S2υ222ρυ1S1υ212=p1S1υ1p2S2υ2 .

Так как произведение площади сечения на скорость в любом сечении трубы одно и то же, написанное равенство можно сократить на величину S1υ1 = S2υ2. В результате получаем

 p1p2=ρυ222ρυ212 .

Перенесем члены, относящиеся к сечению S1, в одну сторону, а к сечению S2 — в другую:

 p1+ρυ212=p2+ρυ222 .

Это равенство и выражает связь между давлением и скоростью жидкости. Оно называется законом Бернулли. Согласно этому закону, там, где скорость течения жидкости больше, давление меньше и наоборот. Заметим, что величина  ρυ22 — это кинетическая энергия единицы объема жидкости. Таким образом, в любом месте трубы сумма давления и кинетической энергии единицы объема жидкости одна и та же.