Kvant. Загадка тени

Амстиславский Я. «Загадка» тени от прозрачной пластинки //Квант. — 2006. — № 1. — С. 30-31,34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Оказывается, если в пучок белого света ввести тонкую прозрачную пластинку, то при соблюдении некоторых требований к положению пластинки и условиям ее освещения можно в проходящих лучах увидеть отчетливую узкую темную полоску тени от края пластинки.

Рис. 1

В домашних условиях это явление можно наблюдать по схеме на рисунке 1. Здесь Щ —­ ориентированная вертикально ярко освещенная узкая щель, выполняющая роль вытянутого в линию (линейного) источника света; Пл ­— пластинка из прозрачного материала, это может быть листок слюды, обертка от коробки сигарет, кусок отмытой от эмульсии фотопленки, покровное стекло или тонкий слой другого прозрачного материала; Э —­ экран в виде листа белой бумаги; точка O’ —­ то место экрана, где наблюдается узкая полоска тени от края пластинки; Сп —­ спектроскоп.

Для выяснения природы наблюдаемого явления важно знать, попадает ли в область темной полоски какой-то свет и, если попадает, каков его спектральный состав. С этой целью можно использовать школьный спектроскоп. В ходе опыта экран убирают, а спектроскоп (или пластинку) осторожно смещают в поперечном направлении, добиваясь точного совмещения полоски тени со щелью спектроскопа. В этом случае при должной узкости щелей и расположении щелей и края пластинки в одной плоскости в поле спектроскопа можно обнаружить достаточно яркий и контрастный спектр —­ совокупность чередующихся светлых (окрашенных) и темных полос в непрерывном спектре (см. приведенные далее рисунки 3 и 4). Такой вид спектральной картины означает, что в область O’, с которой совмещена щель спектроскопа, попадает без заметного ослабления свет некоторых избранных длин волн, обозначим их λ_k, и совершенно не попадает свет промежуточных длин волн — λ’_k. И можно предположить, что наблюдаемое явление имеет интерференционное происхождение.

В спектральной картине наблюдается плавный переход освещенности от максимумов к минимумам, при этом минимумы освещенности оказываются совершенно темными, поэтому можно говорить о том, что интерферирующие пучки имеют одинаковые интенсивности. Вместе с тем, для формирования светлых полос в сплошном спектре с плавным переходом освещенности от максимумов к минимумам необходимо, чтобы изменение фазового сдвига Δφ интерферирующих пучков с изменением длины волны λ также происходило монотонно. Но на пути световой волны, распространяющейся от источника света к области O’, нет никаких интерференционных устройств, кроме фазовой неоднородности в виде ступеньки различной оптической плотности на границе раздела двух прозрачных сред —­ воздуха и пластинки. Поэтому можно сказать, что интерферирующие пучки возникают в результате дифракции от этой фазовой неоднородности. За счет интерференции дифрагированных пучков и происходит максимальное усиление света в области длин волн λ = λ_k и максимальное гашение в области промежуточных длин волн λ = λ’_k. Значит, узкая «темная» пограничная полоска тени от края тонкой прозрачной пластинки, наблюдаемая в плоскости экрана, в действительности оказывается темной не для всех длин волн, а только для избранных —­ для λ = λ’_k.

Рис. 2

Для последующего рассмотрения развернем схему установки на 90° (рис.2), а дифракционный эффект в области тени от края пластинки представим как результат наложения двух когерентных дифрагированных пучков. Один из них возникает при дифракции первичного пучка от края непрозрачного экрана Э₁, прикрывающего правую половину свободного фронта (см. рис.2,б); второй —­ при дифракции первичного пучка от края непрозрачного экрана Э₂, прикрывающего левую половину свободного фронта, при условии что правая половина закрыта данной прозрачной пластиной Пл (см. рис.2,в). Взаимная интерференция этих двух пучков и определит распределение амплитуд и фаз колебаний в картине дифракции от края прозрачной пластинки Пл при ее расположении по схеме рисунка 2,а.

Начнем со схемы рисунка 2,б. В соответствии с принципом Гюйгенса будем считать, что точки 0, 1, 2, 3, 4, 5 первичной волны представляют собой элементарные вторичные излучатели. (Для того чтобы эти излучатели оказались когерентными, необходимо, чтобы ширина b источника света —­ щели Щ —­ удовлетворяла условию когерентности \(~b \sin 2u < \frac{\lambda}{2}\), где 2u —­ угол когерентности. Уменьшая b, это условие всегда можно удовлетворить.) Начальные фазы излучателей оказываются различными ­ они возрастают от точки 0 к точке 5. Эти излучатели посылают вторичные волны во все стороны, в частности —­ в точку А освещенной области, в точку В области геометрической тени и в точку O’ пограничной области. Фаза колебания, приходящего в данную точку наблюдения от каждого элементарного излучателя, зависит от его начальной фазы и набегающей фазы при распространении волны от излучателя до точки наблюдения. Таким образом, в каждую точку плоскости наблюдения приходит своя совокупность элементарных когерентных волн, различающихся по амплитудам и фазам. Их взаимная интерференция и определит результирующую амплитуду a и освещенность Е, а также фазу результирующего колебания в каждой точке плоскости наблюдения.

Расчет приводит к функции распределения освещенности E = E(x), график которой показан на рисунке 2,б кривой 1. Точке O’ соответствует граница геометрической тени. Левее этой точки формируется система близко расположенных светлых полос, имеющих большую освещенность при очень малой и убывающей по мере удаления от O’ контрастности полос. Правее наблюдается резкое и монотонное убывание освещенности. В самой же пограничной точке O’ имеем

\(~a = \frac 12 a_0\) и \(~E = a^2 = \frac 14 a^2_0 = \frac 14 E_0\) ,

где a₀ и E₀ —­ амплитуда и освещенность результирующей волны, приходящей в O’ от свободного фронта.

Теперь перейдем к рисунку 2,в. Нетрудно видеть, что распределение освещенности в дифракционной картине в этом случае представляется кривой 2, полностью симметричной кривой 1. Единственное отличие состоит в том, что результирующие колебания в разных точках экрана наблюдения отличаются от предыдущего случая на величину Δφ(x), зависящую от толщины t прозрачной пластинки и ее абсолютного показателя преломления n.

Вернемся, однако, к интересующему нас расположению (см. рис.2,а). От левой полуплоскости на экране Э формируется картина, распределение освещенности в которой дается кривой 1, а от правой полуплоскости ­— кривой 2. Поскольку обе полуплоскости прозрачны, то в каждой точке экрана будут перекрываться два результирующих колебания. Эти колебания имеют разные амплитуды и сдвиг фаз Δφ, различный для разных точек экрана Э. Но нас не интересует общая картина интерференции, нам важно знать, что делается в области точки O’, где появляется узкая полоска тени. Можно сказать, что в O’ перекрываются два колебания, для которых

\(~a_1 = a_2 = \frac 12 a_0\) и \(~E_1 = E_2 = \frac 14 E_0\) .

Рис.3. а) Слюда, t = 9 мкм; б) слюда, t = 16 мкм; в) обертка от пачки сигарет, t = 19 мкм

Рис.4. а) Слюда, t = 22 мкм; б) покровное стекло, t = 138 мкм

Несущие эти колебания лучи проходят от точки S до точки O’ одинаковые оптические пути повсюду, за исключением участка толщиной t: один из лучей проходит этот участок вблизи края пластинки внутри пластинки и набирает оптический путь tn, второй же луч проходит ту же толщину вблизи края пластинки, но в воздухе, и набирает оптический путь tn₀, при этом между лучами набегает оптическая разность хода \(~\Delta = t(n - n_0) = t(n - 1)\), где n₀ —­ показатель преломления воздуха. Связь между разностью хода лучей Δ и сдвигом фаз колебаний Δφ определяется известным соотношением \(~\Delta \varphi = 2\pi \frac{\Delta}{\lambda}\). Поэтому в нашем случае можно записать

\(~\Delta \varphi = 2\pi \frac{t(n - 1)}{\lambda}\) .

Видно, что с изменением длины волны λ величина Δφ изменяется и периодически удовлетворяет условию максимального усиления Δφ = 2kπ, где k —­ целое число. Следовательно, получим условие максимального усиления в виде

\(~t(n - 1) = k \lambda_k\) ,

где λ_k —­ те длины волн, которые максимально усиливаются в точке O’. Максимальное гашение будут испытывать промежуточные длины волн λ’_k, для которых выполняется соотношение Δφ = (2k + 1)π, поэтому условие максимального гашения запишем в виде

\(~t(n - 1) = (2k + 1) \frac{\lambda'_k}{2}\) .

Из проведенного анализа следует, что при освещении пластинки светом с длинами волн λ = λ’_k в пограничной области O’ происходит интерференция двух колебаний, для которых \(~a_1 = a_2 = \frac 12 a_0\) при Δφ = 2kπ. В этом случае для результирующего колебания имеем

\(~a = a_1 + a_2 = a_0\) и \(~E = 4E_1 = E_0\) .

Следовательно, в световом пучке, содержащем набор длин волн λ_k, тень от края пластинки возникать не должна, апограничная область O’ при наличии пластинки должна быть освещена так же, как это было бы в ее отсутствие. При освещении же пластинки световым пучком, содержащим промежуточные длины волн λ’_k, имеем по-прежнему \(~a_1 = a_2 = \frac 12 a_0\), но Δφ = (2k + 1)π. Поэтому

\(~a = a_1 - a_2 = 0\) и \(~E = a^2 = 0\) .

Значит, тень от края пластинки должна в этом случае возникать, быть резко выраженной и отличаться большой контрастностью.

Залогом получения высококачественной спектральной картины является выполнение следующих требований: край прозрачной пластинки должен быть прямым и ровным (без зазубрин и изгибов); сама пластинка вблизи края должна быть однородной по толщине и оптической плотности; щель Щ и щель спектроскопа должны быть достаточно узкими; обе щели и край пластинки должны быть расположены в одной плоскости.

Рисунки 3 и 4 иллюстрируют наблюдаемые в опыте закономерности. Спектральные картины сфотографированы при помощи микрофотонасадки МФН-3. Расстояния с и d в опытах с пластинками из разных прозрачных сред были одинаковы и составляли приблизительно 20 см. Снимок 3 получен при работе со школьным спектроскопом, а снимок 4 —­ с универсальным монохроматором.