Kvant. Движение по окружности

А так ли хорошо знакомо вам движение по окружности? // Квант. — 2006. — № 1. — С. 32-33.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

...нам не стыдно признать, что весь подлунный мир и центр Земли движутся по Великому
кругу между другими планетами, заканчивая свое обращение вокруг Солнца в один год...
Николай Коперник
...внутри молекулы электроны движутся по замкнутым орбитам, создавая магнитное поле,
подобное тому, какое было бы создано замкнутым током, текущим по тем же орбитам.
Поль Ланжевен
Мы видели, что путь частицы в однородном магнитном поле проходит по круговой орбите.
Но это справедливо только для идеального магнитного поля.
Ричард Фейнман

Это движение объединяет попытки описать устройство окружающего мира и в самых больших, и в самых малых масштабах. Даже в посланиях гипотетическим внеземным цивилизациям, стремясь свести к минимуму важнейшую информацию о нас и о наших знаниях, ученые помещают изображения Солнечной системы и структуры атома, удивительно схожие между собой и состоящие из вложенных друг в друга окружностей, по которым несутся планеты и электроны. А что уж говорить о неисчислимом количестве используемых в технике, строительстве, транспорте вращающихся колес, валов и шестеренок! Воистину «все вертится, и кружится, и несется кувырком».

Вероятно, нашим далеким предкам наблюдаемое круговое движение светил казалось универсальным. Более того, все небесное представлялось идеальным, а идеальной фигурой считалась окружность. Но со временем выяснилось, что орбитами планет являются эллипсы, вращение Земли испытывает возмущения, а в движение предметов по крутящимся телам вмешивается загадочная сила инерции. Да и электроны в атоме мчатся вовсе не по окружностям, если вообще это можно назвать механическим движением...

И все же, с чего-то надо начинать изучение этого многообразия явлений. Окружность как нельзя кстати подходит на роль пусть простой, но охватывающей множество ситуаций модели. В то же время ее простота и идеальность, как вы убедитесь, порой бывают весьма обманчивы.

Вопросы и задачи

1. Жесткий стержень скользит в вертикальной плоскости, опираясь своими концами на пол и стену. По какой траектории движется середина стержня?
2. Точка А движется со скоростью 1 м/с, а точка В со скоростью 2 м/с, причем скорости этих точек сонаправлены. Может ли расстояние АВ оставаться неизменным?
3. Луна постоянно обращена к Земле одной стороной. Сколько оборотов совершит она вокруг своей оси за время полного оборота вокруг Земли?
4. Будет ли происходить смена дня и ночи на Земле, если она перестанет вращаться вокруг своей оси?
5. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки больше угловой скорости суточного вращения Земли?
6. Ускорения двух материальных точек, движущихся по окружностям одного и того же радиуса, равны по модулю. Однако ускорение первой точки направлено под углом 45° к касательной, а ускорение второй­ по радиусу. У какой из этих точек больше скорость?
7. Почему верхние спицы катящегося колеса велосипеда иногда сливаются в одно целое, в то время как нижние видны раздельно?
8. Сплошной диск катится без проскальзывания по горизонтальному участку пути с постоянной скоростью. Какие точки диска имеют относительно неподвижного наблюдателя такую же по модулю скорость, что и центр диска?
9. Будет ли скатываться с наклонной плоскости катушка, прикрепленная к стенке нерастяжимой нитью? Проскальзывание катушки по плоскости отсутствует.

   

10. Как на основе наблюдений звездного неба доказать, что Земля вращается вокруг собственной оси и что вращение происходит с запада на восток?
11. К концам нити, переброшенной через два гвоздя (см. рисунок), прикреплены движущиеся по горизонтальным окружностям грузы: слева ­два груза массой m каждый, справа­ один груз массой 2m. Будет ли эта система находиться в равновесии?

    

12. На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и отпускают шарик. В каких точках траектории его ускорение направлено: а) вертикально вверх; б) вертикально вниз?
13. В кабине лифта на нити, подвешенной к потолку, качается небольшой грузик. Как будет двигаться грузик относительно лифта, если в какой-то момент лифт начнет свободно падать?
14. На правые или левые рессоры оседает автомобиль при левом повороте?
15. На круглой горизонтальной платформе находится небольшое тело. Куда направлена сила трения, действующая на это тело при раскручивании платформы вокруг вертикальной оси до его соскальзывания?
16. За какое время плоскость колебаний маятника Фуко совершает полный оборот?
17. На рисунке изображен участок траектории частицы, движущейся в постоянном магнитном поле. Каков знак заряда частицы?

    

18. Начальная скорость электрона составляет некоторый угол с совпадающими по направлению векторами электрической напряженности и магнитной индукции. Каков характер движения электрона в области, занимаемой этими полями?

Микроопыт

Наполните бутылку наполовину водой и опустите на воду пробочный поплавок с отверстием посередине. Затем в это отверстие свободно проденьте спицу, а другой ее конец закрепите в закрывающей бутылку пробке (при этом нижний конец спицы должен быть немного погружен в воду). Попробуйте снять поплавок со спицы, не открывая бутылку.

Любопытно, что…

...еще в древности были известны три календаря. Первый был связан с вращением Земли вокруг своей оси, второй ­ с вращением Луны вокруг Земли и третий ­ с вращением Земли вокруг Солнца.

...очень сложная система мира Птолемея, опровергнутая Коперником, основывалась на сорока не зависящих друг от друга круговых движениях планет вокруг Земли и «процарствовала» в астрономии около четырнадцати веков. Такое долголетие ей обеспечили достаточно точно предсказываемые затмения, появления планет из-за горизонта и все видимые изменения на небосводе.

...Галилей, установивший закон инерции, войдя в противоречие с самим собой, убедительно доказал ошибочное утверждение: причина обращения планет вокруг Солнца ­ инерция, а движение по инерции может быть только движением по окружности!

...при движении тела во вращающейся системе отсчета кроме центробежной силы инерции возникает еще одна сила инерции­ сила Кориолиса, которая как бы толкает тело вбок. Действие именно этой силы приводит к подмыванию правых берегов рек в северном полушарии и левых в южном, к отклонению падающих тел от вертикали и к повороту плоскости колебаний маятника Фуко. Кстати, два последних факта были исторически первыми доказательствами вращения Земли вокруг своей оси.

...объяснить, почему чаинки собираются в центре стакана при помешивании чая ложечкой, оказалось нешуточным делом. Во всяком случае, один из основоположников квантовой механики Э. Шрёдингер не сумел найти разумного ответа. В этом он признался основателю теории относительности А. Эйнштейну, впоследствии посвятившему верному объяснению этого опыта отдельную научную публикацию.

...геостационарный спутник, «висящий» над одной точкой земной поверхности, можно запустить лишь в экваториальной плоскости. Высота его орбиты составляет около 36 тысяч километров, при этом он обеспечивает связь между наземными пунктами, лежащими до 81° северной и южной широт.

...свободная поверхность жидкости во вращающемся сосуде принимает форму параболоида вращения, способного собирать в одну точку все падающие параллельно его оси световые лучи. Это свойство использовал знаменитый американский физик-экспериментатор Роберт Вуд, построив телескоп, состоящий из вращающегося на дне колодца блюда со ртутью.

...планетарная модель атома Резерфорда - Бора позволяет оценить скорость обращения электрона в атоме водорода, превышающую 2 миллиона метров в секунду. Ускорение же, испытываемое при этом электроном, должно достигать поистине чудовищной величины примерно 10²³ м/с²!

...выражение для силы, действующей на движущийся точечный заряд в магнитном поле, впервые было установлено Дж. Маквеллом. Однако эта сила носит имя голландского ученого Х. Лоренца, принявшего определяющее ее соотношение за один из основных законов микроскопической электродинамики.

...впервые искривлять траекторию разгоняемых заряженных частиц с помощью магнитного поля предложил в 1928 году Л. Сциллард. Развитие этого принципа привело к появлению различных ускорителей, а также накопительных колец, в которых «хранятся», двигаясь с близкой к световой скоростью, даже такие экзотические частицы, как позитроны и антипротоны.

Что читать в «Кванте» о движении по окружности

1. «Почему кувыркается книга» —­ 2000, № 3, с. 37;
2. «Похожие движения» ­— 2002, № 3, с. 29;
3. «Если вращается елочный шарик» ­— 2002, № 3, с. 44;
4. «Солнце остановил, сдвинул Землю» ­— 2003, № 2, с. 13;
5. «Ванна и закон Бэра» —­ 2003, № 3, с. 12;
6. «И все-таки она вертится...» —­ 2003, № 4, с. 17;
7. «Смерч у вас дома» —­ 2003, № 4, с. 42;
8. «Вихри Титана» —­ 2004, № 6, с. 14;
9. «О динамике криволинейного движения» ­— 2005, № 2, с. 30;
10. «Принцип Торричелли и центробежная сила инерции» ­— 2005, № 3, с. 35;
11. «Об одном математическом случае» —­ 2005, № 4, с. 31 и № 5, с. 24.

Ответы

1. По дуге окружности.
2. Может, если точки А и В движутся по двум концентрическим окружностям с одинаковыми угловыми скоростями.
3. Один оборот.
4. Будет, поскольку орбитальное движение Земли приводит к кажущемуся обращению Солнца вокруг нее с периодом в один год.
5. В два раза.
6. У второй, так как у нее больше нормальное ускорение.
7. Скорости спиц нижней половины колеса относительно земли меньше, чем верхней.
8. В каждый данный момент все точки диска, отстоящие от самой нижней точки С на одно и то же расстояние, будут иметь одинаковые по модулю скорости.

   

9. Нет, не будет. Если бы катушка стала скатываться, то она начала бы вращаться вокруг точки С (см. рисунок к условию задачи). Но тогда точка В стала бы удаляться от точки А, т.е. нить АВ стала бы растягиваться, что невозможно.
10. В инерциальной системе отсчета, которой была бы невращающаяся Земля, звезды оставались бы неподвижными на небесной сфере. Суточное же движение звезд с востока на запад указывает на вращение Земли в обратном направлении.
11. Нет, не будет­ правый груз перетянет. Рисунок поясняет ситуацию, как если бы нити были закреплены на гвоздях, откуда следует, что сила натяжения правой нити в действительности будет больше, чем левой.

    

12. а) В нижней точке; б) в двух крайних верхних точках.
13. Если лифт начнет падать в тот момент, когда грузик находится в одной из точек своего максимального отклонения от положения равновесия, то в дальнейшем грузик будет неподвижен относительно стенок лифта. Во всех других случаях грузик будет описывать круговую траекторию вокруг точки подвеса, причем наибольшая скорость вращения будет в том случае, если лифт начнет падать в момент, когда грузик проходит через нижнюю точку своей траектории.
14. На правые.
15. До соскальзывания на тело действует сила трения покоя, обеспечивающая нормальное и касательное ускорения и направленная под углом к радиусу описываемой телом окружности.

    

16. На полюсах Земли этот период составляет одни сутки. По мере уменьшения широты места период будет расти. На экваторе Земли плоскость колебаний не будет изменять свое положение, и поэтому период можно считать бесконечно большим.
17. Отрицательный.
18. В зависимости от значения начального угла электрон станет двигаться по сжимающейся или растягивающейся спирали постоянного радиуса.

Микроопыт

Надо привести воду во вращение. Тогда ее поверхность приобретет вогнутую форму. Поплавок, опускаясь в углубление, сползет со спицы.

Материал подготовил А.Леонович