Kvant. Два кольца в м. поле

Стасенко А.Л. Два кольца в одном магнитном поле //Квант. — 2003. — № 3. — С. 38-40.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

- Неужели же колебание - принцип?

- Первый в жизни. Единственный, который тверд.

Тот, которым цветет все и все - живет.

В. Розанов. Литературные и политические афоризмы

Известно, как Архимед при помощи ванны отличил серебряную вещь от золотой. А если отключили воду (или она замерзла в трубах), нет ли другого способа? Вот об этом и пойдет речь.

Жили-были два кольца одинаковой массы m и одинакового радиуса a. По виду совсем одинаковые, но одно золотое, а другое серебряное. Одинспособныйджентльмен анодировал их да и позабыл, где какое. Тут и вода не помогла бы. Однако догадался он подвесить их на тонких упругих нитях, да еще в постоянном магнитном поле (рис. 1). Что они могли поделать? Ну конечно, только совершать крутильные колебания вокруг осей, совпадающих с нитями. И возникла надежда, что их свободные колебания будут затухать с разной скоростью и это легко будет заметить. Но - какое быстрее? И вообще, почему их колебания должны затухать?

Рис. 1

Разумеется, если кольца находятся в воздухе, то будет действовать сопротивление воздуха; однако кольца можно поместить в вакуум или «пренебречь сопротивлением воздуха» по старой школьной привычке. Далее, крутильные деформации упругих нитей, конечно, будут сопровождаться выделением в них тепла («внутреннее трение»), т.е. потерями механической энергии колебаний. От этого не избавиться, но этим тоже можно пренебречь по сравнению с... чем? И вот тут на первый план выступают магнитное поле и закон Фарадея.

Как известно, при повороте замкнутого проводника в неподвижном магнитном поле и, следовательно, при изменении магнитного потока через поверхность, опирающуюся на этот проводник (или, как еще говорят, при изменении числа линий индукции магнитного поля, пронизывающих эту поверхность), в проводнике возникнет электродвижущая сила индукции. (То же самое произойдет, если проводник как-то растягивать или сжимать, т.е. менять площадь поверхности, или поворачивать само магнитное поле вокруг проводника - словом, если любым способом менять этот самый поток магнитной индукции.) Но если в проводнике возникла ЭДС ε, то потечет электрический ток и, значит, на его сопротивлении R будет выделяться в единицу времени тепловая энергия \(~\frac{\varepsilon^2}{R}\). Будем считать, что это единственный сток энергии («сток» означает «отрицательный источник») - ну, хотя бы потому, что заданное поле достаточно сильное.

Конечно, мы знаем, что возникший ток породит свое магнитное поле (самоиндукция), которое будет препятствовать изменению потока первоначального поля (закон Ленца), но для простоты рассуждений будем считать, что коэффициент самоиндукции пренебрежимо мал.

У каждого кольца на нити есть положение равновесия, при котором нить не закручена. Чтобы «включить» колебания, закрутим нить на малый угол α₀ (α₀ << π) и отпустим. Возникнут свободные затухающие колебания. Любая колебательная система характеризуется очень важным параметром - добротностью. Чем больше добротность, тем «лучше» колебания. Например, гармонические колебания (рис. 2,а; штриховая кривая), по определению, никогда не затухают - их добротность бесконечно велика. Амплитуда же затухающих колебаний за один период Т уменьшается на некоторую величину Δα_m.

Рис. 2

А что происходит с энергией колебаний? Ведь полная механическая энергия состоит из энергий двух сортов: потенциальной П и кинетической К. Рассмотрим сначала первую из них. Подобно тому как потенциальная энергия растянутой пружины равна \(~\frac{kx^2}{2}\) (где х - растяжение, k - жесткость), потенциальная энергия закрученной нити равна \(~\Pi = \frac{G \alpha^2}{2}\), где G - крутильная жесткость. Ее (П) изменение со временем показано на рисунке 2,б. Видно, что потенциальная энергия обращается в ноль, когда колебательная система - осциллятор (в данном случае кольцо на нитях) - проходит положение равновесия. Но в зти же моменты времени достигает наибольшей величины кинетическая энергия К. Можно показать, что для идеальных (гармонических) колебаний средние (за период) значения потенциальной и кинетической энергий строго одинаковы: <П> = <K> , а их сумма W = <П> + <K> не изменяется со временем (а куда же ей деваться, если нет потерь?). Но в случае затухающих колебаний эта суммарная механическая энергия уменьшается за период на величину ΔW_T. Теперь понятно, что «качество» колебаний, т.е. их добротность Q, разумно охарактеризовать отношением \(~\frac{W}{\Delta W_T}\) — чем меньше знаменатель (потери), тем «лучше» колебания, тем ближе они к прекрасным (но недостижимым) свободным гармоническим колебаниям. Или отношением характерного времени затухания, т.е. времени, за которое происходит уменьшение амплитуды колебаний α_m, например, в 2, 10 или е раз, к периоду колебаний.

Оценим это отношение для одного из колец. Пусть изменение угла поворота описывается уравнением

\(~\alpha(t) = \alpha(\tau) \cos \omega t\)

(см. рис. 2,а). Заметим, что в этой записи указаны два времени: 1) «быстрое» время t, характерным масштабом которого является период Т — за этот отрезок времени происходят большие изменения угла в крайних его пределах, и 2) «медленное» время τ, за которое амплитуда ат изменяется на заметную величину и которое содержит много периодов колебаний. Значит, мы предполагаем, что колебания хотя и не идеальные, но «достаточно хорошие» - они медленно затухают и, значит, их добротность высока. А их суммарная энергия в любой момент времени равна

\(~W = 2 <Pi> = 2 \frac{G <\alpha^2(t)>}{2} = \frac{G \alpha^2_m(\tau)}{2}\)

(так как \(~<\cos^2 \omega t> = \frac 12\)).

Теперь найдем, наконец, изменение потока индукции магнитного поля через плоскость кольца. Сам поток равен

\(~\Phi = BS \sin \alpha \approx BS \alpha = B \pi a^2 \alpha_m(\tau) \cos \omega t\)

(напомним, что угол α предполагается малым, поэтому sin α ≈ α) Его изменение на масштабах времени порядка одного периода связано только с изменением косинуса (ведь α_m(τ) «почти» постоянно на этом отрезке времени). Следовательно,

\(~\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = - \omega B \pi a^2 \alpha_m(\tau) \sin \omega t\) .

Но это и есть ЭДС индукции ε. Значит, потери энергии за период составят

\(~\Delta W_T = T \cdot \frac{<\varepsilon^2>}{R} = \frac{2\pi}{\omega} \cdot \frac{(\omega B \pi a^2)^2 \alpha^2_m(\tau) \cdot \frac 12}{\frac{2\pi a}{\lambda s}}\) .

Здесь учтено, что \(~T = \frac{2\pi}{\omega}\), \(~<\sin^2 \omega t> = \frac 12\), а сопротивление проводника длиной 2πa и поперечного сечения s равно \(~R = \frac{2\pi a}{\lambda s}\), где λ - удельная электропроводность материала.

Итак, вот, наконец, желанная добротность колебаний:

\(~\frac{W}{\Delta W_T} = \frac{G \alpha^2_m(\tau)}{2} \frac{\omega \cdot 2\pi a}{2\pi (\omega B \pi a^2)^2 \alpha^2_m(\tau) \frac 12 \lambda s}\) .

Видно, прежде всего, что это отношение не зависит от «амплитуды» колебаний α_m(τ). Далее, если радиусы, массы и жесткости нитей подвеса одинаковы для обоих колец, то частбты их колебаний одинаковы; кроме того, магнитное поле одно и то же. Значит, добротности Q будут отличаться только из-за различия удельных электропроводностей и площадей сечения проводников, поэтому можно записать

\(~Q \sim \frac{W}{\Delta W_T} \sim \frac{1}{\lambda s}\) .

А поскольку массы и радиусы колец одинаковы, то их площади сечения обратно пропорциональны плотностям: s ~ ρ^-1, и

\(~Q \sim \frac{\rho}{\lambda}\) .

И тут Одинспособныйджентльмен понял, что раз уж столько всего одинакового у обоих колец, то, закрыв глаза и подумав, можно было бы и без длительных рассуждений сообразить, что отношение добротностей обоих осцилляторов должно иметь вид

\(~\frac{Q_{Ag}}{Q_{Au}} = \frac{\lambda_{Au} \rho_{Ag}}{\lambda_{Ag} \rho_{Au}} = \frac{\tau_{Ag}}{\tau_{Au}}\) .

Заглянув в справочник, он получил

\(~\frac{\tau_{Ag}}{\tau_{Au}} = \frac{1,66 \cdot 10,5}{2,42 \cdot 19,3} \approx 0,4\) .

Значит, крутильные колебания серебряного кольца будут затухать заметно быстрее.

- Но, позвольте, - сказал Другойспособныйджентльмен, - ведь если у веществ этих колец различные удельные теплоемкости c, то при одинаковых массах они могут нагреться по-разному.

Действительно, если отклонить оба кольца на одинаковый угол α₀ от положения равновесия, то в конце концов вся начальная энергия перейдет в тепло, так что отношение приращений температур колец будет равно

\(~\frac{\Delta t^{\circ}_{Ag}}{\Delta t^{\circ}_{Au}} = \frac{c_{Au}}{c_{Ag}} = \frac{0,130}{0,235} \approx 0,5\) .

Останется только измерить или даже только почувствовать (хотя бы пальцем) различие температур - и проблема решена.

- Однако, позвольте, - сказал Третийспособныйджентльмен, - ведь если видимые геометрические параметры колец (радиусы, внешние диаметры сечений) одинаковы, то при одинаковых массах, но разных плотностях по крайней мере внутри одного из них должна быть полость; значит, их моменты инерции относительно оси вращения будут хоть чуть-чуть, да отличаться. Следовательно, в собственные частоты их колебаний при одной и той же крутильной жесткости нитей подвеса будут несколько отличаться, что будет рано или поздно замечено по различию фаз колебаний (например, когда одно из колец будет находиться в положении максимального отклонения, т.е. мгновенного покоя, другое будет проходить положение равновесия с максимальной скоростью).

- Позвольте, - начал было Очереднойспособныйджентльмен, но тут его перебил Первый. - А что такое «момент инерции относительно оси вращения»?

И ему посоветовали срочно поступать в Московский государственный университет или в Московский физико-технический институт.