Kvant. Гармонические колебания

Черноуцан А.И. Гармонические колебания - обычные и удивительные //Квант. — 1991. — № 9. — С. 36-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Когда и как лучше изучать колебания? Все колебательные процессы — и механические, и электрические — вместе, как это было в школьном курсе раньше? Или механические колебания обсуждать вместе с другими механическими явлениями, а электрические — с электрическими, как это делается сейчас?

Наверное, каждый метод имеет и свои резоны, и свои минусы. Дело в том, что все виды колебаний похожи друг на друга, как близнецы в разных одеждах,— все они описываются совершенно одинаковыми математическими уравнениями. Только там, где в механике присутствует смещение точки, в электричестве должен быть заряд конденсатора, а где скорость точки — сила тока в цепи и т. д. Вот почему, с нашей точки зрения, электрические колебания очень удобно изучать по аналогии, сопоставляя электрическим понятиям механические.

Итак, приступая к изучению электрических колебаний, полезно вспомнить о колебаниях механических. Не претендуя на полное повторение (проще взять в руки учебник), обсудим несколько вопросов, которые часто возникают у дотошных учеников.

Вы, наверное, обратили внимание, что речь шла исключительно о гармонических колебаниях, т. е. колебаниях, происходящих по закону косинуса (или синуса)

\(~x = A \cos (\omega t + \varphi_0)\) , (1)

где x — смещение точки, A — амплитуда, ω — циклическая частота, φ₀ — начальная фаза колебаний. В чем же дело? Может быть, в том, что косинус — самая простая по виду периодическая функция? Нет, главная причина в другом. Оказывается, нет необходимости специально придумывать механическую систему, которая совершала бы гармонические колебания. Такие колебания характерны почти для всех систем. (Почему «почти» — об этом чуть позже.) Надо только установить любую систему в состояние устойчивого равновесия, а потом слегка «подтолкнуть».

Вопрос первый: что такое устойчивое равновесие и у всех ли систем оно есть?

Понятно, что раз речь идет о равновесии, то результирующая сила в этом состоянии обязательно должна быть равна нулю. Устойчивость же означает, что при отклонении от равновесия возникает возвращающая сила, т. е. сила, направленная назад, в сторону равновесия. Но еще лучше сформулировать то же самое на языке энергии. Дело в том, что энергия — понятие для физики более общее и важное, чем сила, и сказанное на этом языке в одной области легко переносится в другие. Так вот, устойчивое равновесие соответствует минимуму потенциальной энергии. Понятно, что такой минимум есть у любой системы, где есть потенциальная энергия. В противном случае, уменьшая до бесконечности потенциальную энергию, можно заставить систему совершить сколь угодно большую работу, т. е. получить вечный двигатель.

Простейшей системой, совершающей гармонические колебания, является грузик на пружинке, подчиняющейся закону Гука F_упр = — kx. Написав второй закон Ньютона для этого груза, получим уравнение

\(~x'' + \frac km x = 0\) , (2)

где х" — вторая производная смещения по времени, т. е. ускорение. А решением такого уравнения как раз является функция (1), т. е. гармонические^ колебания с частотой \(~\omega = \sqrt{\frac km}\) или с периодом \(~T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi\sqrt{\frac mk}\). Как в этом убедиться? Да просто подставить эту функцию в уравнение (2). И тут у школьников (особенно въедливых) часто возникает следующий вопрос.

Вопрос второй: откуда мы знаем, что у уравнения (2) нет какого-нибудь другого решения?

Другими словами, нельзя ли не угадывать решение, а получить его прямо из уравнения? Конечно же, это можно сделать, но только если вы уже умеете интегрировать и решать простые уравнения с производными (их называют дифференциальными уравнениями). Однако в данном случае в этом нет никакой необходимости. Достаточно использовать следующее утверждение: если известны силы, действующие на точку, и ее положение и скорость в начальный момент (начальные условия), то движение точки полностью определено. Иными словами, существует только одно решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. А теперь — несколько подробнее.

Зададим начальную координату x₀ и начальную скорость υ₀ и покажем, что существует решение (1) уравнения (2), удовлетворяющее этим условиям. Иначе говоря, найдем параметры А и φ₀, которые это обеспечивают. Подставляя t = 0 в равенство (1) и в выражение для скорости \(~\upsilon = x' = -\omega A \sin (\omega t + \varphi_0)\), получаем систему уравнений

\(~\begin{matrix} x_0 = A \cos \varphi_0 \\ \upsilon_0 = -\omega A \sin \varphi_0 \end{matrix}\) .

Решая ее, находим

\(~\begin{matrix}\operatorname{tg} \varphi_0 = -\frac{\upsilon_0}{\omega x_0} \\ A^2 = x^2_0 + \frac{\upsilon^2_0}{\omega^2}\end{matrix}\) .

Функция (1) с такими А и φ₀ и \(~\omega = \sqrt{\frac km}\) удовлетворяет как уравнению (2), так и начальным условиям. Значит, она описывает единственное решение.

Рис. 1

Ну хорошо, с грузиком на пружинке разобрались. Но ведь не все системы описываются силой F = —kx и потенциальной энергией \(~E_p = \frac{kx^2}{2}\). А было сказано, что любая система (почти!) будет совершать гармонические колебания. Нет, не совсем так. Мы сказали, что тело надо слегка «подтолкнуть». Не любые, а малые колебания около положения равновесия должны быть гармоническими. Это легко понять, посмотрев на график произвольной зависимости силы от смещения (рис. 1). При х = 0 F = 0, а достаточно малый участок кривой около этой точки можно приближенно считать прямолинейным (чем меньше участок, тем меньше мы ошибемся). Значит, в малой окрестности точки х = 0 силу можно записать в виде F = —k_efx. а потенциальную энергию, соответственно, в виде \(~E_p = \frac{k_{ef}x^2}{2}\), где «эффективная жесткость» k_ef есть не что иное, как тангенс угла α наклона графика к оси X при x = 0. При любой зависимости F = F(x) малые колебания точки неотличимы от колебаний на пружинке с жесткостью k_ef, т. е. происходят по гармоническому закону с периодом \(~T = 2 \pi\sqrt{\frac {m}{k_{ef}}}\). (Проверьте сами, например, что для математического маятника \(~k_{ef} = \frac{mg}{l}\).)

Внимательный и «настырный» школьник немедленно сформулирует, еще один вопрос.

Вопрос третий: а что если потенциальная энергия имеет иной вид, например \(~E_p = \frac{\gamma x^4}{4}\)?

Рис. 2

В этом случае сила F = —γx³ и в точке х = 0 угол а наклона графика F = F(x) равен нулю (рис. 2). Какими будут колебания такой системы? Гармоническими или нет? Оказывается, в этом случае колебания, даже малые, будут происходить совсем по другому закону. (Имея в виду именно такие случаи, мы и говорили: «почти всегда» гармонические.)

Рис. 3

Какие же системы удовлетворяют заданной зависимости потенциальной энергии от смещения? Приведем два примера. Первый — можно тщательно выдолбить ямку, сечение которой имеет вид \(~y = \frac{\beta x^4}{4}\). Тогда потенциальная энергия для движения в такой ямке \(~E_p = mgy = \frac{mg \beta x^4}{4}\). Другой пример: если к середине недеформированной пружины с закрепленными концами прикрепить грузик (рис. 3), то при малых поперечных колебаниях сила будет пропорциональна третьей, а энергия — четвертой степени смещения. Заметим, что если пружина растянута, то колебания будут гармоническими! Что же мы увидим в этих случаях? Разве можно на глаз отличить гармонические колебания от негармонических? Оказывается, есть очень важное отличие гармонических колебаний от любых других: их частота зависит от параметров системы, но не зависит от амплитуды колебаний. Мы настолько к этому привыкли, что совершенно не удивляемся, когда нас просят узнать период малых колебаний, ничего не говоря об их амплитуде. А ведь это — совсем не очевидное свойство, и выполняется оно только для силы F = —kx. Поясним это, воспользовавшись соображениями размерностей. Размерность жесткости k не содержит длины: [k] = Н/м = кг/с², поэтому период колебаний, который может зависеть только от k, ω и А, должен вы жаться через комбинацию \(~\sqrt{\frac mk}\) имеющую размерность времени, и не может зависеть от амплитуды А. Совсем иное дело в случае, когда F = —γx³. Размерность γ содержит длину: [γ]= кг/(м²·с²), и чтобы получить размерность времени для периода колебаний, надо составить комбинацию \(~\left(\frac{m}{\gamma A^2} \right)^{\frac 12} = \frac 1A \sqrt{\frac {m}{\gamma}}\). Именно так (с точностью до безразмерного множителя) должен выглядеть ответ для периода колебаний — чем больше амплитуда, тем меньше период. Если, например, грузик на недеформированной пружине отклонить в сторону один раз на 1 см, а другой раз на 2 мм, то во втором случае период будет в 5 раз больше, что, конечно, легко заметить невооруженным глазом.