Kvant. В цепи переменного тока

Серохвостов С. В цепи переменного тока //Квант. — 2004. — № 1. — С. 29-30.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Во многих учебниках физики формулы для амплитуды тока и сдвига фаз между током и напряжением в цепи переменного тока, состоящей из катушек индуктивности, резисторов и конденсаторов, даются без вывода. Однако вдумчивым школьникам всегда хочется, чтобы «все было по-честному», чтобы было понятно, почему формулы имеют именно такой вид. Покажем, как можно получить эти формулы, используя только школьные знания по физике.

Рассмотрим самый простой вариант схемы: пусть к источнику переменного напряжения U подключена электрическая цепь из соединенных последовательно резистора сопротивлением R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L (рис.1).

Рис. 1

Если характерный размер контура х и круговая частота переменного напряжения источника ω таковы, что \(~x << \frac{2 \pi c}{\omega}\), где c - скорость света в вакууме, а \(~\frac{2 \pi c}{\omega}\) - длина электромагнитной волны, соответствующая данной частоте, то сила тока в каждой точке нашей цепи в один и тот же момент времени будет иметь практически одну и ту же фазу (естественно, эта фаза будет меняться со временем, но меняться она будет во всех точках одинаково). Это предположение дает нам возможность считать, что в цепи течет так называемый квазистационарный переменный ток, и применить для анализа цепи правила Кирхгофа.

Согласно первому правилу Кирхгофа, сумма токов, втекающих в любую точку разветвления цепи, равна сумме токов, вытекающих из этой точки. Второе правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений на элементах простого замкнутого контура равна алгебраической сумме всех ЭДС в этом контуре. В нашей схеме напряжение падает на конденсаторе (\(~\frac qC\)) и на резисторе (IR), а в качестве ЭДС выступают источник напряжения (U) и катушка, в которой возникает ЭДС индукции (\(~-L \frac{dI}{dt}\)). Поэтому запишем

\(~U - L \frac{dI}{dt} = \frac qC + IR\) . (1)

Здесь мы обозначили заряд на конденсаторе буквой q, а силу тока в цепи - буквой I.

Так как напряжение источника изменяется по синусоидальному закону, то логично считать, что сила тока в цепи, заряд и напряжение на конденсаторе будут изменяться со временем также синусоидально и с той же частотой. Пусть, для определенности, \(~q = q_0 \sin \omega t\). Тогда

\(~I = q' = q_0 \omega \cos \omega t\) .

На практике удобнее измерять именно силу тока, а не заряд на конденсаторе, поэтому положим \(~q_0 = \frac{I_0}{\omega}\) и получим

\(~\begin{matrix} q = \frac{I_0}{\omega} \sin \omega t \\ I = I_0 \omega \cos \omega t \end{matrix}\) .

Теперь уравнение (1) можно записать следующим образом:

\(~U =- LI_0 \omega \sin \omega t + RI_0 \cos \omega t + \frac{I_0}{\omega C} \sin \omega t\) .

Очевидно, что фаза напряжения источника отличается от фазы силы тока в цепи на некоторый угол φ. Пусть

\(~U = U_0 (\cos \omega t + \varphi)\) .

В этом случае формула (1) будет иметь вид

\(~U_0 (\cos \omega t + \varphi) =- LI_0 \omega \sin \omega t + RI_0 \cos \omega t + \frac{I_0}{\omega C} \sin \omega t\) .

Преобразуем выражение в левой части при помощи формулы для косинуса разности углов:

\(~U_0 (\cos \omega t \cos \varphi - \sin \omega t \sin \varphi) =- LI_0 \omega \sin \omega t + RI_0 \cos \omega t + \frac{I_0}{\omega C} \sin \omega t\) .

Сгруппируем теперь отдельно члены уравнения с cos ωt и члены с sin ωt:

\(~\left( -U_0 \sin \varphi + LI_0 \omega - \frac{I_0}{\omega C} \right) \sin \omega t = (-U_0 \cos \varphi + RI_0) \cos \omega t\) .

Эта формула должна быть верна для любого значения t. Такое возможно, только если множители при синусе и косинусе будут оба равны нулю, т.е. если

\(~U_0 \sin \varphi = LI_0 \omega - \frac{I_0}{\omega C}\) (2)

и

\(~U_0 \cos \varphi = RI_0\) . (3)

Возведем выражения (2) и (3) в квадрат и сложим. В результате получим

\(~U^2_0 = I^2_0 \left( R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2 \right)\) .

Отсюда нетрудно получить выражение для I₀:

\(~I_0 = \frac{U}{\sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}}\) . (4)

Эта формула очень похожа на закон Ома для участка цепи, если за сопротивление принять величину

\(~Z = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}\) .

Поэтому Z часто называют комплексным сопротивлением, или импедансом цепи.

Если мы знаем I₀, то мы знаем силу тока в любой момент времени, так как \(~I = I_0 \cos \omega t\). Однако для полного решения задачи нам следует ответить еще на один вопрос: а чему равен сдвиг фаз φ? Для этого разделим друг на друга уравнения (2) и (3) и получим

\(~\operatorname{tg} \varphi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}\) . (5)

Взяв арктангенс от правой части этого равенства, получим искомый угол, после чего задача будет полностью решена.

• 

  Рис. 2
• 

  Рис. 3

Как видим, формулы (4) и (5) получить действительно достаточно просто. Ну а теперь, когда вы уже почувствовали веру в собственные силы и знания, найдите самостоятельно силу тока I через источник и сдвиг фаз между U и I для схемы, изображенной на рисунке 2, а также силу тока, протекающего через каждый элемент цепи, изображенной на рисунке 3 (в этом случае вам понадобятся оба закона Кирхгофа).