Kvant. Восходящая звезда

Айзенкрафт А., Кирпатрик Л. Восходящая звезда //Квант. — 1996. — № 5. — С. 42-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Хлопните в ладоши. Как звучит хлопок одной ладони?

Учебник дзен-буддизма

Можетли из двух звуков получиться тишина?

Учебник физики

Хороший пример возникновения волны можно увидеть при трансляции спортивного матча. Начинается с того, что какая-то группа болельщиков на трибуне встает. Их пример поднимает с мест зрителей в соседнем секторе, затем в следующем и так далее. Когда такая волна вставаний движется по трибунам, сами болельщики не движутся никуда — каждый отдельный зритель остается там, где и был. Это — хорошая иллюстрация самого неочевидного свойства волн: при распространении волны не происходит никакого перемещения среды, в которой эта волна распространяется. Еще Леонардо да Винчи, изучая круги на воде, обнаружил, что хотя эти круги — они же волны — расходятся от центра, сама вода остается на месте.

А вот эффект интерференции, возникающий при взаимодействии волн, вряд ли можно увидеть на стадионе. Что же происходит, когда встречаются две волны?

Рис. 1

Рассмотрим для начала струну, по которой навстречу друг другу движутся два импульса. Возможно, что при их встрече на мгновение образуется один «сверхпик» (рис. 1, а), что неудивительно. Или, если эти импульсы направлены противоположно, в какой-то момент мы неожиданно увидим совершенно прямую струну (рис. 1, б), словно никаких импульсов не было.

Рис. 2

Периодическая волна — это непрерывная последовательность импульсов. Например, звуковая волна состоит из последовательных сжатий и разрежений воздуха. Если отложить по вертикали давление воздуха в некоторой точке, а по горизонтали — время, мы как раз и получим график типа изображенного на рисунке 2. На рисунке 3 показаны разные варианты взаимодействия двух волн (красная и синяя линии). Видно, что в некоторых точках суммарное смещение (черная линия) велико, а в некоторых вообще равно нулю. Точки наибольшего смещения называются пучностями, нулевого — узлами.

Рис. 3

Интерференция звуковых волн может приводить к тому, что в каком-то месте концертного зала некоторые звуки не будут слышны вообще, т.е. в этом месте окажется узел. Работа инженера-акустика, требующая и знаний, и интуиции, заключается в том, чтобы такого не случалось. Великолепная акустика театра Ла Скала или Карнеги-холла — частично везение, частично чудо.

Возвращаясь к эпиграфу, можно утверждать, что из двух звуков действительно может получиться тишина. Два источника света могут дать темноту, как, скажем, в эксперименте Юнга с двумя щелями или в интерферометре Майкельсона. При взаимодействии двух пучков электронов может случиться, что в некоторые точки электроны не попадают — видимо, это одно из самых важных открытий двадцатого века. А вот при попытке ответить на вопрос о хлопке одной ладони физическая интуиция вряд ли сможет помочь.

Теперь — очередное конкурсное задание. Задача, в которой обсуждается интерференция радиоволн, предлагалась на XII Международной олимпиаде по физике (1981 г.).

Задача

Приемник радиотелескопа расположен на берегу моря на высоте 2 м от воды. Он принимает радиоволны только с горизонтальной поляризацией электрического поля. Над горизонтом восходит звезда, излучающая на длине, волны 21 см. Во время восхода приемник регистрирует чередующиеся максимумы и минимумы мощности сигнала.

1. Определите, при каких высотах звезды над горизонтом регистрируются максимумы и минимумы.
2. Растет или падает интенсивность принимаемого сигнала сразу после появления звезды над горизонтом?
3. Найдите отношение максимального и минимального уровней мощности сигналов, следующих друг за другом.

Замечание. Отношение амплитуды отраженной и падающей волн равно \(~\frac{n - \sin \theta}{n + \sin \theta}\), где θ — угол, образованный волной с горизонтом, n — показатель преломления. Для воды на данной длине волны n = 9.

Решение

Рис. 4

Принимаемый сигнал определяется интерференцией двух радиоволн — отраженной от поверхности моря и приходящей прямо от звезды (рис. 4). Путь отраженной волны длиннее, и, следовательно, между двумя волнами возникает разность хода. Кроме того, при отражении фаза волны меняется на π, что соответствует дополнительному пути \(~\frac{\lambda}{2}\), т.е. половине длине волны Полная разность хода должна быть целым числом длин волн при максимальном сигнале приемника и полуцелым — при минимальном.

Рис. 5

Рассмотрим отражение нашего приемника в море (рис.5). Ясно, что путь отраженной волны до приемника равен прямому пути до отражения приемника. В таком случае разность хода находится легко и оказывается равной

\(~\delta = 2h \sin \theta\) ,

где θ — высота звезды над горизонтом, h — высота приемника над уровнем моря. Условия для максимумов и минимумов соответственно запишутся в виде (не забудьте об изменении фазы при отражении от воды)

\(~\begin{matrix} \delta_{max} = \left( k + \frac 12 \right) \lambda \\ \delta_{min} = k \lambda \end{matrix}\) ,

где k — целое число.

1. Максимумы и минимумы наблюдаются при высотах звезды над горизонтом, которые легко определяются из следующих равенств:

\(~\begin{matrix} \sin \theta_{max} = \frac{\delta_{max}}{2h} = \frac{\left( k + \frac 12 \right) \lambda}{2h} \\ \sin \theta_{min} = \frac{\delta_{min}}{2h} = \frac{k \lambda}{2h} \end{matrix}\) ,

2. При появлении звезды над горизонтом θ = 0. Из-за сдвига фаз при отражении это соответствует минимуму сигнала: волны приходят в противофазе. Затем интенсивность сигнала начнет расти.

3. Амплитуда в максимуме сигнала равна сумме электрических полей исходной и отраженной волн. Пусть поле исходной волны Е, тогда

\(~E_{max} = E + E \frac{n - \sin \theta}{n + \sin \theta} = E \frac{4nh}{2nh + \left( k + \frac 12 \right) \lambda}\) .

Аналогично

\(~E_{min} = E - E \frac{n - \sin \theta}{n + \sin \theta} = E \frac{2k \lambda}{2nh + 2k \lambda}\) .

Поскольку искомая мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды поля, легко рассчитать относительные мощности I всех последовательных минимумов и максимумов. Некоторые значения приведены в таблице:

k	θmax	θmin	Imax	Imin
0	1,50°	0	3,9768	0
1	4,52°	3,01°	3,9309	0,000135
2	7,54°	6,03°	3,8858	0,000532
3	10,59°	9,06°	3,8415	0,00118