Kvant. Ворона ­хвостом вперед

Козлов В. Ворона ­хвостом вперед? //Квант. — 2005. — № 5. — С. 28-29.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Возможно, проезжая в окрестностях какого-либо аэродрома (аэропорта) на электричке, поезде или автомобиле, вам приходилось наблюдать из окна удивительное зрелище. Самолет, взлетающий вдалеке или идущий на посадку почти параллельно дороге, как будто зависает в воздухе или даже начинает двигаться... хвостом вперед. (Здесь, конечно, речь не идет о самолетах вертикального взлета и посадки, для которых такое движение реально возможно.) Подобным же образом иногда выглядит из окна движущегося транспорта и полет птичьих стай или одиночных крупных птиц.

Попытаемся разобраться в причинах, вызывающих у наблюдателя такую иллюзию. Вы, наверное, припоминаете (если, конечно, наблюдали такой эффект), что во всех упомянутых выше случаях на переднем плане всегда находились какие-то крупные объекты: большие здания, деревья, кусты и т.п., а самолет или птицы летели далеко за ними, на заднем плане. И это ­— ключ для объяснения эффекта.

Рис. 1

Однако сначала рассмотрим более простую ситуацию. Предположим, что движения лыжника, вороны и реактивного самолета происходят в одной и той же вертикальной плоскости с постоянными скоростями. Высоты полета вороны и самолета также не изменяются. Пусть в некоторый момент времени t₀, как условно показано на рисунке 1, самолет (точка C) находится в зените относительно лыжника (точка A), а угол между направлениями на самолет и на ворону (точка B) равен 45°, причем ворона летит позади лыжника. Спустя некоторое время Δt лыжник, ворона и самолет (соответственно, точки A’, B’ и C’) оказываются на одной прямой, образующей с вертикалью угол 45°. А это означает, что скорость углового перемещения по небосводу относительно лыжника у вороны больше, чем у самолета.

Определим отношение мгновенных угловых скоростей вороны и самолета относительно лыжника для этого момента времени. Мгновенная угловая скорость равна проекции относительной скорости вороны \(~\vec \upsilon_B - \vec \upsilon_A\) или самолета\(~\vec \upsilon_C - \vec \upsilon_A\) на нормаль к радиусу-вектору соответствующей точки, деленной на длину этого радиуса-вектора:

\(~\omega_B = \frac{(\upsilon_B - \upsilon_A) \cos 45^{\circ}}{A'B'} = \frac{(\upsilon_B - \upsilon_A) \cos^2 45^{\circ}}{h_B}\) , \(~\omega_C = \frac{(\upsilon_C - \upsilon_A) \cos 45^{\circ}}{A'C'} = \frac{(\upsilon_C - \upsilon_A) \cos^2 45^{\circ}}{h_C}\) ,

где υ_A­ — скорость лыжника, h_B­ и h_C —­ высоты полета вороны и самолета соответственно. По условию рассматриваемой задачи,

\(~h_B = \frac{(\upsilon_B - \upsilon_A) \Delta t}{2 \operatorname{tg} 45^{\circ}}\) , \(~h_C = \frac{(\upsilon_C - \upsilon_A) \Delta t}{\operatorname{tg} 45^{\circ}}\) .

Используем это для вычисления отношения угловых скоростей и получим

\(~\frac{\omega_B}{\omega_C} = 2\) .

Таким образом, несмотря на то что характерная скорость вороны значительно меньше скорости реактивного самолета, ее скорость углового перемещения по небосводу, с точки зрения движущегося лыжника, в конкретной ситуации оказалась в 2 раза больше соответствующей угловой скорости самолета. И у бегущего лыжника создается впечатление, что ворона перемещается по небосводу быстрее самолета. Причина этого —­ в существенной разнице в высотах полета птицы и самолета. Читатель может задаться типичными значениями скоростей лыжника, вороны и самолета и самостоятельно оценить наблюдаемый эффект.

Вернемся теперь к проблеме «зависающего или движущегося хвостом вперед» самолета. Действие, конечно, происходит в трехмерном пространстве. Однако для простоты можем предположить, что векторы скоростей самолета и наблюдателя параллельны друг другу и направлены в разные стороны. В этом случае относительное движение можно анализировать в плоскости, которой принадлежат оба вектора скорости. Такое допущение не отразится принципиально на заключительных выводах. Так же, как и в предыдущей задаче, для объяснения эффекта решающее значение имеет отношение скоростей углового перемещения объектов относительно наблюдателя. Мгновенные относительные угловые скорости предметов, находящихся на переднем плане (деревьев, кустов, домов и т.п.), могут значительно превышать скорость углового перемещения самолета относительно движущегося наблюдателя.

Рис. 2

Рисунок 2 схематично поясняет, как возникает иллюзия «летящего хвостом вперед» самолета. Движущийся (например, в автомобиле) наблюдатель сначала увидит самолет (точка 1) перед ближним к нему объектом (деревом). Затем самолет может быть закрыт на короткое время от наблюдателя этим объектом. По истечении еще некоторого времени наблюдатель снова увидит самолет (точка 2), но с другой стороны от находящегося перед наблюдателем объекта (дерева). Заведомо зная, что дома, деревья и т.п. неподвижны, наблюдатель воспринимает видимые изменения положения самолета относительно таких объектов как его движение «хвостом вперед». Этому может также благоприятствовать значительная удаленность самолета от наблюдателя. В этом случае направление на самолет с течением времени изменяется очень мало, а расположенные вблизи дороги крупные объекты «проносятся» за окном движущегося транспорта с относительно большой угловой скоростью.

Однако воспринимаемый человеком любой зрительный образ не является вполне объективным отражением реальной действительности. Дело в том, что в формировании воспринимаемого образа активно участвует мозг. Он «подправляет» поступающую к нему зрительную информацию за счет известных фактов. В частности, из повседневного опыта человеку известно, что дома, деревья или кусты не могут перемещаться по неподвижной поверхности земли. Поэтому при наблюдении за летящим вдали самолетом наш мозг, обрабатывая поступающую зрительную информацию, «автоматически» оценивает перемещения самолета относительно заведомо для него неподвижных на переднем плане объектов. И тогда, вследствие объективно меньшей относительной угловой скорости, возникает иллюзия зависающего в воздухе или летящего назад («хвостом вперед») самолета.