Kvant. Вокруг одной задачи

Бодик В.А. Вокруг одной задачи //Квант. — 1987. — № 9. — С. 40-41.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

На одном из занятий кружка по решению задач наш учитель предложил такую задачу:

За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит 5 см и останавливается. Какой путь тело прошло за третью секунду?

Никто из нас не смог к ней подступиться. Тогда учитель сказал: «Сегодняшнее занятие кружка мы посвятим решению этой задачи, хотя она решается... устно. Для этого лишь нужно знать... Впрочем, решите сначала другую задачу». Вот ее условие:

За последние полсекунды свободно падающее тело проходит путь, равный 30 м. Найдите скорость тела в момент приземления.

Эту задачу мы решили легко:

\(~\begin{matrix} s = \upsilon_0 t + \frac{gt^2}{2} \\ \upsilon_t = \upsilon_0 + gt \end{matrix}\) .

Откуда

\(~\upsilon_t = \frac{s + \frac{gt^2}{2}}{t} = 62,5\) м/с,

но связи с предыдущей задачей не обнаружили. Однако как только учитель записал конечную формулу иначе:

\(~s = \upsilon_t t - \frac{gt^2}{2}\) ,

мы сразу же увидели обратимость движения. (Это как в кино, когда снятый эпизод прокручивают в обратном порядке.)

Теперь нашу задачу можно сформулировать так:

За первую секунду равноускоренного движения без начальной скорости тело проходит 5 см. Найдите путь за третью секунду.

Мы быстро нашли несколько путей решения. Учитель же остановился на одном из них, в котором было получено выражение для пути, пройденного за любую секунду:

\(~s_n = (2n - 1) \frac{a \tau^2}{2}\) ,

где τ = 1 с , n — номер секунды. Обратив наше внимание на множитель (2n – 1) — рекуррентную формулу нечетного числа, учитель записал:

\(~s_1 : s_2 : \ldots : s_n = l : 3 : \ldots : (2n - 1)\) .

И тогда всем стало ясно, что нашу задачу действительно можно было решить устно:

\(~s_3 = 5 s_1 = 25\) см.