Kvant. Влажность

Соловьянюк В. Ах, уж эта влажность //Квант. — 1992. — № 11. — С. 35-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Что такое влажность воздуха? Как ее можно рассчитать? Что нужно сделать, чтобы определить ее практически? Обсудим эти и подобные вопросы на примере одной-единственной задачи — задачи № 563 из Сборника задач по физике для средней школы (Рымкевич А. П., 1990).

Вот ее условие:

Найдите относительную влажность воздуха в комнате при температуре 18 °С, если при 10°С образуется роса.

И ответ: 59 %.

Решим задачу

Воспользуемся примечанием, которое приведено тут же в сборнике на соседней странице:

Относительной влажностью можно считать отношение плотности ρ водяного пара, фактически находящегося в воздухе, к плотности ρ₀ насыщенного пара при данной температуре:

\(~\varphi = \frac{\rho}{\rho_0} \cdot 100%\) . (1)

Плотность ρ₀ мы можем найти из таблицы зависимости плотности насыщенного пара от температуры: при t₁ = 18 °C ρ₀ = 15,4 г/м³. А плотность ρ найдем из следующих соображений. Будем понижать температуру в комнате, считая ее герметически закрытой, до тех пор, пока не начнет выпадать роса. Тогда плотность водяного пара ρ при температуре t₁ и плотность насыщенного пара ρ’ при точке росы, т. е. при t₂ = 10 °С, будут одинаковыми:

\(~\rho = \rho'\) = 9,4 г/м³ .

В результате вычислений получаем ответ:

\(~\varphi = 61%\) .

Сравнивая с ответом в задачнике, видим, что они заметно не совпадают. Почему?

Попробуем иначе

Решим теперь задачу по-другому — используя определение относительной влажности из школьного учебника по физике для 10 класса (Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., 1990):

Относительной влажностью воздуха φ называют отношение парциального давления p водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре, к давлению p₀ насыщенного пара при той же температуре, выраженное в процентах:

\(~\varphi = \frac{p}{p_0} \cdot 100%\) . (2)

Обратимся к таблице зависимости давления насыщенных водяных паров от температуры и найдем в ней нужные нам значения: р = 1,23 кПа, p₀ = 2,07 кПа. Отсюда получим

\(~\varphi = 59%\) .

Этот ответ совпадает с ответом в задачнике.

Какое же из двух решений является более точным?

Обратимся к газовым законам

Пусть р, V и m — параметры водяного пара в ненасыщенном состоянии при некоторой температуре Т, а p₀, V₀ и m₀ — параметры насыщенного водяного пара при той же температуре. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для этих двух состояний:

\(~pV = \frac mM RT , p_0V_0 = \frac{m_0}{M} RT\) ,

или

\(~p = \frac{\rho RT}{M} , p_0 = \frac{\rho_0 RT}{M}\) .

Поделив равенства друг на друга, получим

\(~\frac{p}{p_0} = \frac{\rho}{\rho_0}\) .

Таким образом, значения относительной влажности, вычисленные по формулам (1) и (2), должны совпадать?!

Поиски продолжаются

При решении задачи мы в обоих случаях «крутились» вокруг точки росы. А что это такое собственно?

В последнем издании школьного учебника это понятие вообще не обсуждается, но в более раннем (1988 г.) говорилось:

Охлаждение пара при постоянном давлении рано или поздно превратит его в насыщенный пар... Температуру t_p, при которой водяной пар становится насыщенным, называют точкой росы.

Точку росы можно непосредственно определить с помощью так называемого конденсационного гигрометра. В специальный резервуар наливают легко испаряющийся эфир, вставляют туда же термометр и с помощью груши начинают быстро прокачивать воздух, вызывая тем самым интенсивное испарение эфира и понижение температуры в резервуаре. По термометру замечают температуру, при которой на полированной поверхности резервуара появляется матовый налет — роса. Это и есть точка росы.

Появление росы указывает, что пар стал насыщенным. Далее авторы учебника утверждают:

Давление в области, прилегающей к стенке (резервуара), можно считать постоянным, так как эта область сообщается с атмосферой и понижение давления за счет охлаждения компенсируется увеличением концентрации пара... Зная температуру воздуха и точку росы, можно найти парциальное давление водяного пара и относительную влажность с помощью таблицы зависимости давления насыщенного пара от температуры... Если точка росы известна, то тем самым известно парциальное давление водяного пара р. Зная р и p₀, находим относительную влажность:

\(~\varphi = \frac{p}{p_0} \cdot 100%\) .

Значит, при определении точки росы в этом случае происходит процесс охлаждения при постоянном давлении. При этом исследуемый воздух . не изолируется от атмосферы, и в процессе охлаждения его объем будет уменьшаться. Сюда — в незагермети- зированную комнату или к охлаждаемой поверхности гигрометра — со всех сторон будет устремляться окружающий воздух, восстанавливая при этом прежнее давление. Следовательно, действительно давление насыщенного пара при точке росы будет в этом процессе таким же, как и парциальное давление водяного пара в исследуемом воздухе. Иными словами, замена в формуле (2) парциального давления ненасыщенного водяного пара на величину давления насыщенного пара при точке росы вполне законна.

Но надо иметь в виду, что в этом случае плотность водяного пара не остается неизменной, а все время увеличивается — из-за подтока окружающего воздуха, и поэтому формулой (1) пользоваться нельзя.

При решении задачи первым способом подход к точке росы совершенно другой — объем исследуемого воздуха, его масса и плотность предполагаются постоянными при охлаждении от комнатной температуры до точки росы. Значит, вместе с понижением температуры будет понижаться и парциальное давление, т. е. при таком подходе нельзя пользоваться, наоборот, формулой (2).

А какой из двух подходов к получению точки росы осуществляется на практике? В подавляющем большинстве случаев при определении относительной влажности приборами процесс происходит при постоянном давлении. Следовательно, решение по формуле (2) можно считать более правильным.

Ну, а как же быть с разными ответами, полученными по формулам (1) и (2)? Как мы выяснили, плотность ρ при комнатной температуре T₁ меньше, чем плотность ρ₀₂ насыщенного пара при точке росы T₂, если понижение температуры происходит при постоянном давлении р. Используя уравнение Менделеева — Клапейрона для этих двух состояний, запишем

\(~pV_1 = \frac{m_1}{M} RT_1 , pV_2 = \frac{m_2}{M} RT_2\) .

Заменив \(~\frac{m_1}{V_1}\) на ρ, \(~\frac{m_2}{V_2}\) на ρ₀₂, получим

\(~\rho = \rho_{02} \frac{T_2}{T_1}\) .

Подставив это выражение в формулу (1), найдем

\(~\varphi = \frac{\rho_{02}}{\rho_0} \frac{T_2}{T_1} \cdot 100% = 59,4%\) . (1)

Резюме

Все изложенные здесь рассуждения — правильные. Ошибка была допущена только в одном предположении, что точка росы определяется при постоянном объеме, а в действительности, на практике, она измеряется при постоянном давлении.