Kvant. Ванька-Встанька

Боровинский Л. Почему не лежится Ваньке-Встаньке? //Квант. — 1996. — № 1. — С. 38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Наверное, многие из вас помнят с раннего детства или читали недавно своим младшим братишкам и сестренкам веселые стихи Самуила Яковлевича Маршака о кукле-неваляшке — Ваньке-Встаньке:

Уснули телята, уснули цыплята,

Не слышно веселых скворчат из гнезда.

Один только мальчик — по имени Ванька,

По прозвищу Встанька — не спит никогда.

У Ваньки, у Встаньки — несчастные няньки:

Начнут они Ваньку укладывать спать,

А Ванька не хочет — приляжет и вскочит,

Уляжется снова и встанет опять.

Укроют его одеялом на вате —

Во сне одеяло отбросит он прочь

И снова, как прежде, стоит на кровати,

Стоит на кровати ребенок всю ночь.

Лечил его доктор из детской больницы.

Больному сказал он такие слова: —

Тебе, дорогой, потому не лежится,

Что слишком легка у тебя голова!

Итак, «доктор из детской больницы», по словам поэта, нашел причину странного поведения Ваньки-Встаньки. Мы же попробуем не только объяснить такое поведение с помощью законов физики, но и выяснить, при каких условиях Ванька-Встанька принимает вертикальное положение, как только прекращается действие силы, удерживающей его в любом другом положении.

Как устроена кукла-неваляшка? Представьте себе две соприкасающиеся между собой сферы (см. рисунок) с радиусами R и r (R > r). Большая сфера — это «туловище», а меньшая — «голова». (Иногда «голове» придают форму цилиндра с горизонтальной осью, но для наших рассуждений форма «головы» не играет никакой роли.) В нижней части «туловища» находится массивное тело в форме сферического сегмента высотой h. Сегмент ограничен частью поверхности «туловища» и плоскостью, перпендикулярной оси, проходящей через центры сфер и точку их соприкосновения.

Если попытаться положить куклу на горизонтальную поверхность и предоставить ее самой себе, она немедленно встанет. Почему? Очевидно, что вертикальное положение Ваньки-Встаньки является положением устойчивого равновесия. В механике есть правило: в состоянии устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений. Это означает, что значение потенциальной энергии, вызванной тяготением к Земле, должно быть наименьшим из всех возможных.

Выясним, при каких условиях потенциальная энергия Ваньки-Встаньки будет минимальной, когда он занимает вертикальное положение. Выведем куклу из положения равновесия, отклонив ее ось на угол α от вертикали. Пусть h_c высота центра тяжести массивного тела при вертикальном положении оси, М — его масса и m — масса «головы». Масса оболочки «туловища» не имеет значения, так как высота центра тяжести оболочки, а значит, и ее потенциальная энергия при наклоне Ваньки-Встаньки не изменяются.

Как видно из рисунка, высота центра тяжести массивного тела при наклоне оси равна

$~h_1 = CD + BL = h_c \cos \alpha + R - R \cos \alpha$ ,

а высота центра тяжести «головы» —

$~h_2 = LO + KO_1 = R + (R + r) \cos \alpha$ .

Общая потенциальная энергия массивного тела и «головы» равна

$~E_p = Mgh_1 + mgh_2 = (M + m)gR + (m(R + r) - M(R - h_c))g \cos \alpha$ .

Отсюда следует, что потенциальная энергия Ваньки-Встаньки при вертикальном положении оси, т.е. при α = 0, будет минимальной, если выражение, на которое умножается g cos α, отрицательно:

$~m(R + r) - M(R - h_c) < 0$ ,

или

$~m < M \frac{R - h_c}{R + r}$ .

Осталась, правда, неизвестной величина h_c, но ее можно выразить через известные величины R и h (примем это без доказательства):

$~h_C = h \frac{8R - 3h}{12R - 4h}$ .

Таким образом, мы нашли точное математическое условие, показывающее, в какой мере должна быть «легка голова» у Ваньки-Встаньки, чтобы он принимал вертикальное положение, как только будет предоставлен самому себе.