A. Центростремительное ускорение

Ускорение при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью (центростремительное ускорение)

При равномерном вращении по окружности модуль скорости υ движения тела не изменяется, но направление скорости изменяется непрерывно. Следовательно, данное движение — движение с ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению.

По определению среднего ускорения \(~\mathcal h \vec a \mathcal i = \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t}\) . Треугольники ОАВ и BCD — равнобедренные (рис. 2). Углы при вершинах — одинаковые (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Отсюда следует, что Δ ОАВ подобен Δ BCD.

Рис. 2

Из подобия \(~\frac{|\Delta \vec \upsilon|}{\upsilon} = \frac{|\Delta \vec r|}{R} \Rightarrow |\Delta \vec \upsilon| = \frac{\upsilon |\Delta \vec r|}{R}\)

Тогда \(~\mathcal h a \mathcal i = \frac{\upsilon}{R} \cdot \frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t}\) .

Мгновенное ускорение \(~a = \lim_{\Delta t \to 0} \mathcal h a \mathcal i = \frac{\upsilon}{R} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t} = \frac{\upsilon^2}{R}\) .

β — угол между \(~\vec \upsilon_0\) и \(~\Delta \vec \upsilon (\mathcal h \vec a \mathcal i)\) — внешний по отношению к Δ BCD:

\(~\beta = \Delta \varphi + \frac{180 - \Delta \varphi}{2} = 90 + \frac{\Delta \varphi}{2} .\)

При Δt → 0 угол Δφ → 0 и, следовательно, β → 90°. Перпендикуляром к касательной к окружности является радиус. Следовательно, \(~\vec a\) направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением:

\(~a = \frac{\upsilon^2}{R} .\)

Модуль а = const, направление \(~\vec a\) непрерывно изменяется (рис. 3). Поэтому данное движение не является равноускоренным.

Рис. 3

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 19-20.