A. Затухающие колебания
Превращение энергии при гармонических колебаниях. Затухающие колебания
Рассмотрим процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере идеального (Fтр=0) горизонтального пружинного маятника. Выводя тело из положения равновесия, например сжимая пружину на х=А, мы сообщаем ему некоторый запас потенциальной энергии \(~W_{n_{0}} = \frac{kA^2}{2}\) (горизонтальный уровень, на котором находится маятник, выбираем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии маятника в поле силы тяжести, тогда Wп = 0). При движении тела к положению равновесия его потенциальная энергия \(W_n = \frac{kx^2}{2}\) убывает, а кинетическая \(W_k = \frac{m \upsilon^2}{2}\) возрастает, так как деформация пружины уменьшается, а скорость движения тела увеличивается. В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая \(W_{k_{0}}=\frac{m \upsilon^2_max}{2}\) — максимальна. После прохождения положения равновесия скорость тела уменьшается, а пружина растягивается. Следовательно, кинетическая энергия тела убывает, а потенциальная — возрастает. В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная механическая энергия пружинного маятника равна сумме его кинетической и потенциальной энергий \(W = W_k + W_n.\)
Если смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания, изменяется с течением времени по закону \(~x = A \cos \omega t,\) то проекция скорости на ось х \(~\upsilon_x = -\omega A \sin \omega t\) (см. § 13.2). Следовательно, кинетическая энергия в любой момент времени может быть задана функцией \(W_k = \frac{m \upsilon^2}{2} = \frac{m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{4}(1- \cos 2 \omega t),\) а потенциальная энергия — функцией \(W_n = \frac{k x^2}{2} = \frac{ k A^2 \cos^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{4}(1+ \cos 2 \omega t) ,\) так как \(\omega^2 = \frac{k}{m}\), то \(~k = m \omega^2.\)
Полная энергия \(W = \frac{m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t}{2} + \frac{m \omega^2 A^2 \cos^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{2} = \frac{kA^2}{2}.\)
Из этих формул видно, что Wк и Wп изменяются тоже по гармоническому закону, с одинаковой амплитудой \(\frac{m \omega^2 A^2}{4}\) и в противофазе друг с другом и с частотой \(~2 \omega\) (рис. 13.13), а полная механическая энергия не изменяется со временем. Она равна либо потенциальной энергии тела в момент максимального отклонения, либо его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия:
В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают, т.е. их амплитуда уменьшается до нуля (рис. 13.14).
Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, называются затухающими колебаниями.
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 378-380.
