A. Водорода Бора

Модель атома водорода по Бору

Исходя из этих постулатов и используя планетарную модель строения атома, Н. Бор разработал количественную теорию атома водорода. Он рассчитал радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и вычислил соответствующие им значения энергии.

Расчет радиусов орбит.' Электрон движется вокруг ядра в атоме водорода по круговой орбите под действием кулоновской силы, которая сообщает

ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона \(\vec F = m \vec a.\)

Центростремительное ускорение \(a_{cs} = \frac{\upsilon^2}{r}\) электрону сообщает кулоновская сила притяжения со стороны ядра \(F = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}.\) Следовательно,

\(\frac{m\upsilon^2}{r} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2},\) откуда \(m\upsilon^2 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}.\) (20.1)

Согласно III постулату Бора\[m\upsilon r = n \frac{h}{2 \pi},\] отсюда

\(\upsilon = \frac{nh}{2 \pi m r}.\) (20.2)

Из уравнений (20.1) и (20.2) получим \(\frac{mn^2h^2}{4 \pi^2 m^2 r^2} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2v}.\)

Откуда \(r = \frac{n^2h^2\varepsilon_0}{\pi m e^2} —\) (20.3)

выражение для радиусов разрешенных стационарных орбит электрона в атоме водорода. Здесь n — номер орбиты, радиус которой r, \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная, h — постоянная Планка, m — масса электрона, е — заряд электрона.

Мы видим, что радиусы стационарных устойчивых орбит возрастают пропорционально квадратам номеров орбит (рис. 20.3)\[~r_1 : r_2 : r_3 \cdots = 1^2 : 2^2 : 3^2\] и т.д. Если электрон в атоме водорода находится на одной из стационарных орбит, то атом обладает определенным значением энергии, определяемой энергией электрона:

\(W = W_k + W_n = \frac{m\upsilon^2}{2} - \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2v}.\)

(Знак "-" перед потенциальной энергией означает, что за \(~W_n= 0\) принято то значение, которое соответствует \(~r = \infty\)). Подставив в эту формулу значения \(~\upsilon\) и r из формул (20.2) и (20.3), получим:

\(W = \frac{m}{2} \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^2} - \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{n^2h^2 \pi^2 m^2e^2}{8\pi^2mn^4h^4\varepsilon_0^2}-\frac{e^2 \pi me^2}{4 \pi \varepsilon_0 n^2h^2 \varepsilon_0} = \frac{me^4}{8 \pi \varepsilon_0v n^2h^2}.\)

Таким образом, энергия электрона, находящегося на n-й орбите,

\(W = -\frac{me^4}{8 \pi \varepsilon_0v n^2h^2}.\) (20.4)

Из этой формулы видно, что значения энергии атома водорода квантованы и, чем больше n, тем больше энергия W_n. Для наглядного представления возможных энергетических состояний атомов используются энергетические диаграммы, на которых каждое стационарное состояние атома отмечается горизонтальной линией, называемой энергетическим уровнем (рис. 20.4). Ниже всех на диаграмме располагается энергетический уровень, соответствующий основному состоянию (состояния с минимальной энергией). Энергетические уровни возбужденных состояний располагаются над основным уровнем на расстояниях, пропорциональных разности энергий возбужденного и основного состояний. Переходы атома из одного состояния в другое изображаются вертикальными линиями между соответствующими уровнями на диаграмме. Направление перехода обозначается стрелкой. При переходе электрона с k-й на n-ю орбиту излучается фотон с частотой

\(\nu_{kn} = \frac{W_k - W_n}{h} = \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3}\left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{k^2} \right).\)

Рис. 20.4

Сравнивая это выражение с эмпирической формулой

\(\nu_{kn} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{k^2} \right),\)(20.5)

видим, что постоянная Ридберга \(R = \frac{me^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3};\) следовательно, в формуле (20.5) k — номер орбиты, с которой происходит переход электрона в атоме, n — номер орбиты, на которую переходит электрон.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 577-579.