Т. Равноускоренное движение

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренное прямолинейное движение — это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением.

\(~\vec a = \operatorname{const}\) — уравнение ускорения.

По определению ускорения \(~\vec a = \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t}\).

Пусть в момент времени t₀ = 0 скорость тела равна \(~\vec \upsilon_0\), в момент времени t — \(~\vec \upsilon\). Тогда за промежуток времени \(~\Delta t = t - t_0 = t\) скорость изменилась на \(~\Delta \vec \upsilon = \vec \upsilon - \vec \upsilon_0\) Следовательно, ускорение \(~\vec a = \frac{\vec \upsilon - \vec \upsilon_0}{\Delta t} \Rightarrow\)

\(~\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 + \vec a \cdot t\) — уравнение скорости.

Или в проекциях\[~\upsilon_x = \upsilon_{0x} + a_x \cdot t\].

Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис. 1).

Рис. 1

Графики ускорения a_x = f(t) представлены на рисунке 2, а графики скорости υ_x = f(t) — на рисунке 3.

Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис. 4).

• 

  Рис. 2
• 

  Рис. 3
• 

  Рис. 4

Для малого промежутка времени Δt изменением величины скорости можно пренебречь и скорость можно считать постоянной. Тогда перемещение за промежуток времени Δt будет равно площади узкой густо заштрихованной полоски. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки времени и найдя перемещение за каждый отдельный промежуток времени, суммируем эти перемещения. Модуль проекции перемещения за промежуток времени \(~\Delta t = t - t_0 = t\) в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции.

Следовательно,

\(~\Delta r_x = \frac{\upsilon_{0x} + \upsilon_x}{2} \cdot t . \qquad (1)\)

Подставив значение \(~\upsilon_x = \upsilon_{0x} + a_x \cdot t\) в (1), получим:

\(~\Delta r_x = \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}\) — уравнение перемещения в проекциях;

\(~\Delta \vec r = \vec \upsilon_0 \cdot t + \frac{\vec a \cdot t^2}{2}\) — уравнение перемещения в векторном виде.

Учитывая, что \(~x = x_0 + \Delta r_x\), имеем:

\(~x = x_0 + \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}\) — кинематическое уравнение равноускоренного движения.

Его векторный вид\[~\vec r = \vec r_0 + \vec \upsilon_0 \cdot t + \frac{\vec a \cdot t^2}{2}\] .

Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим:

\(~\Delta r_x = \frac{\upsilon^2_x - \upsilon^2_{0x}}{2a_x} \Rightarrow \upsilon_x = \sqrt{\upsilon^2_{0x} + 2a_x \cdot \Delta r_x}.\)

Сравнивая выражение (1) с формулой \(~\Delta r_x = \left\langle \upsilon \right\rangle_x \cdot t\), найдем:

\(~\left\langle \upsilon \right\rangle_x = \frac{\upsilon_{0x} + \upsilon_x}{2}\) — проекция средней скорости при равноускоренном движении.

Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис. 5).

Рис. 5

Литература

1. Аксенович Л.А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л.А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К.С. Фарино; Под ред. К.С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C.10-11.