Слободянюк А.И. Физика 10/9.12. Электрический диполь

Материал из PhysBook

Перейти к: навигация, поиск

§9. Электрическое поле и его свойства

9.12 Электрический диполь.

Часто возникает необходимость найти характеристики электрического поля, создаваемого системой зарядов, локализованных в небольшой области пространства. Примером такой системы зарядов могут служить атомы и молекулы, состоящие из электрически заряженных ядер и электронов. Если требуется найти поле на расстояниях, которые значительно больше размеров области расположения частиц, то нет необходимости пользоваться точными, но громоздкими формулами, достаточно ограничится более простыми приближенными выражениями.

Пусть электрическое поле создается набором точечных зарядов q_k (k = 1,2…N), расположенных в пределах небольшой области пространства, характерные размеры которой обозначим l (Рис. 202). Для расчета характеристик электрического поля, в некоторой точке A, находящейся на расстоянии r, значительно превышающем l, все заряды системы можно «объединить» и рассматривать систему зарядов как точечный заряд Q, величина которого равна сумме зарядов исходной системы

$~Q = q_1 + q_2 + \ldots + q_N$ . (1)

Этот заряд можно мысленно расположить в любой точке области расположения системы зарядов q_k (k = 1,2…N), так как при l << r, изменение положения в пределах малой области незначительно повлияет на изменение поля в рассматриваемой точке.

В рамках такого приближения напряженность и потенциал электрического поля определяются по известным формулам

$~E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} ; \varphi = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ . (2)

Если суммарный заряд системы равен нулю, то указной приближение является слишком грубым, приводящим к выводу об отсутствии электрического поля.

Более точное приближение можно получить, если мысленно собрать отдельно положительные и отрицательные заряды рассматриваемой системы. Если их «центры» смещены друг относительно друга, то электрическое поле такой системы может быть описано как поле двух точечных зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, смещенных друг относительно друга. Более точную характеристику системы зарядов в этом приближении мы дадим немного позднее, после изучения свойств электрического диполя.

Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных зарядов одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на малом расстоянии друг от друга.

Рассчитаем характеристики электрического поля, создаваемого диполем, состоящего из двух точечных зарядов +q и -q, расположенных на расстоянии a друг от друга (Рис. 203). Сначала найдем потенциал и напряженность электрического поля диполя на его оси, то есть на прямой, проходящей через оба заряда. Пусть точка A, находится на расстоянии r от центра диполя, причем будем считать, что r >> a. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в данной точке описывается выражением

$~\varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \left (r - \frac{a}{2}\right )} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \left (r + \frac{a}{2}\right )} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{a}{r^2 - \left (\frac{a}{2}\right )^2} \approx \frac{qa}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ . (3)

На последнем шаге мы пренебрегли вторым малой величиной $~\left (\frac{a}{2}\right )^2$ по сравнению с r² . Величину вектора напряженности электрического поля также можно вычислить на основании принципа суперпозиции

$~E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \left (r - \frac{a}{2}\right )^2} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \left (r + \frac{a}{2}\right )^2} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2ar}{\left (r^2 - \left (\frac{a}{2}\right )^2\right )^2} \approx \frac{qa}{2 \pi \varepsilon_0 r^3}$ . (4)

Напряженность поля можно вычислить, используя соотношение между потенциалом и напряженностью поля $~E_x = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta x}$ . В данном случае вектор напряженности направлен вдоль оси диполя, поэтому его модуль рассчитывается следующим образом

$~E = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta r} = -\frac{\varphi(r + \Delta r) - \varphi(r)}{\Delta r} = \frac{qa}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{\Delta r} \left ( \frac{1}{(r + \Delta r)^2} - \frac{1}{r^2} \right ) = -\frac{qa}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{\Delta r} \frac{-2r\Delta r -(\Delta r)^2}{r^2(r + \Delta r)^2} \approx \frac{qa}{2 \pi \varepsilon_0 r^3}$ . (5)

Обратите внимание, что поле диполя ослабевает быстрее поля точечного заряда, так потенциал поля диполя убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а напряженность поля - обратно пропорционально кубу расстояния.

Аналогичным, но более громоздким, способом можно найти потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке, положение которой определим с помощью полярных координат: расстояния до центра диполя r и угла θ (Рис. 204). По принципу суперпозиции потенциал поля в точке A равен

$~\varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_+} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r_-} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{r_- - r_+}{r_-r_+}$ . (6)

Учитывая, что r >> a, формулу (6) можно упростить с помощью приближений $~r_-r_+ \approx r^2 ; r_- - r_+ \approx a \cos \theta$ , в этом случае получаем

$~\varphi = \frac{qa \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ .

Вектор напряженности электрического поля $~\vec E$ удобно разложить на две составляющие: радиальную $~\vec E_r$ , направленную вдоль прямой, соединяющей данную точку с центром диполя, и перпендикулярную ей $~\vec E_{\theta}$ (рис. 205). При таком разложении каждая компонента направлена вдоль направления изменения каждой из координат точки наблюдения, поэтому может быть найдена из соотношения, связывающего напряженность поля и изменение потенциала.

Для того, чтобы найти компоненты вектора напряженности поля, запишем отношение изменения потенциала, при смещении точки наблюдения в направлении соответствующих векторов (Рис. 206).

Радиальная составляющая тогда выразится соотношением

$~E_r = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta r} = -\frac{\varphi(r + \Delta r) - \varphi(r)}{\Delta r} = \frac{qa \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{\Delta r} \left ( \frac{1}{(r + \Delta r)^2} - \frac{1}{r^2} \right ) = \frac{qa \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{\Delta r} \frac{2r\Delta r + (\Delta r)^2}{r^2(r + \Delta r)^2} \approx \frac{qa \cos \theta}{2 \pi \varepsilon_0 r^3}$ .

Для расчета перпендикулярной составляющей следует учесть, что величина малого смещения в перпендикулярном направлении выражается через изменение угла следующим образом $~\Delta l = r \Delta \theta$ . Поэтому величина этой компоненты поля равна

$~E_{\theta} = -\frac{\Delta \varphi}{r \Delta \theta} = -\frac{\varphi(\theta + \Delta \theta) - \varphi(\theta)}{r \Delta \theta} = -\frac{qa}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \frac{\cos (\theta + \Delta \theta) - \cos \theta}{\Delta \theta} = \frac{qa \sin \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \frac{\sin \Delta \theta}{\Delta \theta} \approx \frac{qa \sin \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$ .

При выводе последнего соотношения использована тригонометрическая формула для разности косинусов и приближенное соотношение, справедливое при малых Δθ : sin Δθ ≈ Δθ.

Полученные соотношения полностью определяют поле диполя в произвольной точке и позволяют построить картину силовых линий этого поля (рис. 207).

Теперь обратим внимание, что во всех формулах, определяющих потенциал и напряженность поля диполя, фигурирует только произведение величины одного из зарядов диполя на расстояние между зарядами. Поэтому именно это произведение является полной характеристикой электрических свойств и называется дипольным моментом системы. Так как диполь является системой двух точечных зарядов, то он обладает осевой симметрией, осью которой является прямая, проходящая через заряды. Следовательно, для задания полной характеристики диполя следует указать и ориентацию оси диполя. Проще всего это сделать, задавая вектор дипольного момента, величина которого равна дипольному моменту, а направление совпадает с осью диполя

$~vec p = q \vec a$ , (7)

где $~\vec a$ - вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя ^[1]. Такая характеристика диполя весьма удобна и позволяет во многих случая упрощать формулы, придавая им векторный вид. Так, например, потенциал поля диполя в произвольной точке, описываемый формулой (6), может быть записан в векторной форме

$~\varphi = \frac{\vec p \cdot \vec r}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$ . (8)

После введения векторной характеристики диполя, его дипольного момента, появляется возможность использовать еще одну упрощающую модель – точечный диполь: систему зарядов, геометрическими размерами которой можно пренебречь, но обладающей дипольным моментом ^[2].

Рассмотрим поведение диполя в электрическом поле. Пусть два точечных заряда, находящиеся на фиксированном расстоянии друг от друга, помещены в однородное электрическое поле. Со стороны поля на заряды действуют силы F = ±qE, равные по величине и противоположные по направлению. Суммарная сила, действующая на диполь равна нулю, однако эти силы приложены к различным точкам, поэтому суммарный момент этих отличен от нуля, а равен

$~M = Fa \sin \alpha = qEa \sin \alpha = pE \sin \alpha$ , (9)

где α - угол меду вектором напряженности поля и вектором дипольного момента. Наличие момента силы, приводит к тому, что дипольный момент системы стремится повернуться по направлению вектора напряженности электрического поля.

Обратите внимание, что и момент силы, действующий на диполь, полностью определяется его дипольным моментом. Как мы показали ранее, если сумма сил, действующих на систему, равна нулю, то суммарный момент сил не зависит от оси, относительно которой этот момент рассчитывается. Положению равновесия диполя соответствуют как направление по полю α = 0, так и против него α = π, однако легко показать, что первое положение равновесия устойчиво, а второе нет.

Если электрический диполь находится в неоднородном электрическом поле, то силы, действующие на заряды диполя различны, поэтому результирующая сила отлична от нуля.

Для упрощения, будем считать, что ось диполя совпадает с направлением вектора напряженности внешнего электрического поля. Совместим ось системы координат с направлением вектора напряженности (Рис. 209). Результирующая сила, действующая на диполь, равна векторной сумме сил, действующих на заряды диполя,

$~F = F_+ - F_- = q(E(x+a) - E(x)) = qa \frac{\Delta E}{\Delta x}$ . (10)

Здесь E(x) - напряженность поля в точке расположения отрицательного заряда, E(x + a) - напряженность в точке положительного заряда. Так как расстояние между зарядами мало, разность напряженностей представлена как произведение скорости изменения напряженности на размер диполя. Таким образом, в неоднородном поле, на диполь действует сила, направлена в сторону возрастания поля, или диполь втягивается в область более сильного поля.

В заключение вернемся к строгому определению дипольного момента произвольной системы зарядов. Вектор дипольного момента, системы, состоящей из двух зарядов (Рис. 210), может быть записан в виде

$~\vec p = q \vec a = q(\vec r_+ - \vec r_-) = (+q)\vec r_+ - (-q)\vec r_-$ .

Если теперь пронумеровать заряды, то эта формула приобретает вид

$~\vec p = (+q)\vec r_+ - (-q)\vec r_- = q_1 \vec r_1 + q_2 \vec r_2$ ,

где величины зарядов понимаются в алгебраическом смысле, с учетом их знаков. Последняя формула допускает очевидное обобщение (обоснованием которого является принцип суперпозиции) на систему произвольного числа зарядов

$~\vec p = q_1 \vec r_1 + q_2 \vec r_2 + q_3 \vec r_3 + \ldots = \sum_{k} {q_k \vec r_k}$ . (11)

Эта формула определяет дипольный момент произвольной системы зарядов, с ее помощью произвольная система зарядов может быть заменена на точечный диполь (Рис. 211). Положение диполя внутри области расположения зарядов произвольно, естественно, если электрическое поле рассматривается на расстояниях значительно превышающих размеры системы.

Задания для самостоятельной работы.

Докажите, что для произвольной системы зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю, дипольный момент, определяемый по формуле (11), не зависит от выбора системы отсчета.
Определите «центры» положительных и отрицательных зарядов системы, по формулам аналогичным, формулам для координат центра масс системы. Если все положительный и все отрицательные заряды собрать в своих «центрах», то получим диполь, состоящий из двух зарядов. Покажите, что его дипольный момент совпадает с дипольным моментом, рассчитанным по формуле (11).
Получите двумя способами формулу, выражающую силу взаимодействия точечного диполя и точечного заряда, находящегося на оси диполя: во-первых, найдите силу, действующую на точечный заряд со стороны диполя; во-вторых, найдите силу, действующую на диполь со стороны точечного заряда; в-третьих, убедитесь, что эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

Примечания

↑ Направление вектора дипольного момента, в принципе можно задать и противоположным, но исторически сложилось задание направления дипольного момента от отрицательного к положительному заряду. При таком определении силовые линии как бы являются продолжением вектора дипольного момента.
↑ Очередная, абсурдная на первый взгляд, но удобная абстракция – материальная точка, имеющая два заряда, разнесенных в пространстве.

Следующая страница

Источник — «http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/9.12._%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C»