Слободянюк А.И. Физика 10/19.2

Содержание книги

Предыдующая страница

§19. Волновые процессы

19.2 Механические волны – динамическое описание.

Изучение механических волн на основе законов динамики начнем с простой модельной системы: бесконечная цепочка состоит из одинаковых шариков (масса каждого m), соединенных одинаковыми легкими пружинами (жесткость каждой γ). В положении равновесия расстояния между шариками равны l, пружины немного растянуты так, что сила натяжения каждой равна T₀ (Рис. 292).

19.2.1 Продольные волны на упругой цепочке.

Рассмотрим возможность существования продольных волн в данной системе, то есть будем считать, что шарики могут двигаться только вдоль цепочки.

Определим собственную частоту колебаний одного шарика, при условии, что два его ближайших соседа неподвижны. Обозначим смещение шарика от положения равновесия u (Рис. 293). На выделенный шарик будут действовать силы упругости со стороны пружин, причем на основании закона Гука можно записать

\(~\begin{matrix} T_1 = T_0 + \gamma \cdot u \\ T_2 = T_0 - \gamma \cdot u \end{matrix}\) .

Уравнение движения шарика будет иметь вид

\(~ma = T_2 - T_1\) ,

где a - ускорение шарика, равное второй производной по времени от смещения шарика.

Подставляя в это уравнение выражения для сил упругости, получим

\(~ma = -2 \gamma \cdot u\) . (1)

Это уравнение описывает гармонические колебания с круговой частотой

\(~\omega_0 = \sqrt{\frac{2 \gamma}{m}}\) . (2)

Так как сила упругости пропорциональна деформации пружины, то в уравнениях движения можно не учитывать начальную деформацию пружин и наличие начальной силы их натяжения T₀. Действительно, каждый шарик соединен с двумя пружинами с противоположных сторон, поэтому силы T₀ будут компенсировать друг друга, и в уравнениях движения будут оставаться только линейные члены, возникающие из-за дополнительных деформаций пружин. Фактически линейность закона Гука – пропорциональность сил упругости и деформаций является обоснованием использования принципа суперпозиции в рассматриваемой задаче.

Пронумеруем все шарики индексом n (n = 0,±1,±2...). Обозначим смещение n-го шарика от его положения равновесия через u_n, а его ускорение a_n. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения n-го шарика:

\(~ma_n = -T_1 + T_2\) ,

где T₁, T₂ - силы упругости, действующие на этот шарик. С учетом закона Гука это уравнение приобретает вид:

\(~ma_n = -\gamma (u_n - u_{n-1}) + \gamma (u_{n+1} - u_n)\) .

Разделим обе части уравнения на массу шарика m и приведем подобные члены, в результате получим уравнение

\(~a_n = -\omega^2_0 u_n + \frac{\omega^2_0}{2} u_{n-1} + \frac{\omega^2_0}{2} u_{n+1}\) , (3)

которое является основой дальнейшего рассмотрения задачи.

Таким образом, мы получили систему зацепляющихся уравнений, определяющих ускорения каждого шарика. Без задания дополнительных условий эта система имеет бесконечно много решений. В данном случае нас вопрос: существуют ли ее решения типа бегущей волны, для которой смещения шариков изменяются по гармоническому закону с одинаковыми частотами и амплитудами, но разными начальными фазами колебаний. Поэтому попытаемся искать решение системы уравнений (3) в виде

\(~u_n = A \cos (\omega t + \varphi)\) . (4)

В этом выражении частота колебаний ω определяется частотой вынуждающей силы, действующей на один из шариков – эта сила должна рассматриваться как источник волны. Понятно, что сдвиги фаз колебаний между соседними шариками Δφ должны быть одинаковы, кроме того, выбор начальной фазы колебаний одного из шариков произволен. Поэтому в уравнение (3) подставим следующие выражения для смещений

\(~\begin{matrix} u_n = A \cos (\omega t) \\ u_{n-1} = A \cos (\omega t - \Delta \varphi) \\ u_{n+1} = A \cos (\omega t + \Delta \varphi) \end{matrix}\) . (5)

В результате получим:

\(~-A \omega^2 \cos \omega t = -A \omega^2_0 \cos \omega t + A \frac{\omega^2_0}{2} \cos (\omega t - \Delta \varphi) + A \frac{\omega^2_0}{2} \cos (\omega t + \Delta \varphi)\) .

Воспользовавшись тригонометрической формулой для суммы косинусов, это уравнение можно преобразовать к виду

\(~-A \omega^2 \cos \omega t = -A \omega^2_0 \cos \omega t + A \omega^2_0 \cos \omega t \cos \Delta \varphi\) .

После сокращения на Acos ωt, выразим значение косинуса сдвига фаз

\(~\cos \Delta \varphi = 1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0}\) , (6)

а величина сдвига фаз определяется формулой

\(~\Delta \varphi = \pm \arccos \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0} \right)\) . (7)

Таким образом, решение системы уравнений (3) в виде бегущей волны действительно существует. Два знака в полученном решении соответствуют бегущим волнам, распространяющимся в противоположных направлениях. Однако, чтобы выражение (7) имело смысл, необходимо, чтобы выражение (6) было по модулю меньше единицы, то есть должно выполняться соотношение

\(~\left|1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0} \right| \le 1\) ,

из которого определяем, что частота вынуждающей силы должна удовлетворять условию

\(~\omega \le \sqrt{2} \omega_0 = 2 \sqrt{\frac{\gamma}{m}}\) . (8)

Мы получили, что при частотах больших, чем определяется формулой (8) не существует решений уравнений (3), в виде бегущих волн, что и свидетельствует о том, что существует предельная частота волн, которые могут распространяться по цепочке. Физический смысл полученного ограничения мы выясним несколько позднее.

Как было отмечено ранее начальная фаза колебаний одного из шариков может быть выбрана произвольно, поэтому решение уравнений (3) можно записать в виде

\(~x_n = A \cos (\omega t + n \Delta \varphi)\) ,

где величина Δφ определяется формулой (7). Для того, что бы рассчитать скорость распространения волны, выразим номер шарика n через его координату x - \(~n = \frac{x}{l}\), в результате чего получим уравнение бегущей волны в явном виде:

\(~u(x,t) = A \cos (\omega t + \frac{x}{l} \Delta \varphi)\) . (9)

Скорость распространения волны c можно получить из условия постоянства фазы одной из точек, «привязанной» к самой волне\[~\omega t + \frac{x}{l} \Delta \varphi = \operatorname{const}\], откуда следует

\(~c = \left|\frac{\Delta x}{\Delta t} \right| = \frac{\omega l}{\Delta \varphi} = \frac{\omega l}{\arccos \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0} \right)}\) . (10)

Для построения графика зависимости c(ω), найдем значение скорости волны при малых частотах, \(~\frac{\omega}{\omega_0} << 1\). В этом пределе сдвиг фаз между колебаниями соседних точек является малой величиной, поэтому можно положить \(~\cos \Delta \varphi = 1 - \frac{(\Delta \varphi)^2}{2}\). Тогда из уравнения (6) следует\[~\Delta \varphi = \frac{\omega}{\omega_0} \sqrt{2}\]. Подставляя это значение в формулу (10), получим скорость распространения низкочастотных волн

\(~c_0 = \frac{\omega_0 l}{\sqrt{2}}\) . (11)

В другом крайнем случае, когда частота волны стремится к максимальной частоте \(~\omega \to \sqrt{2} \omega_0\), скорость волны уменьшается до

\(~c_1 = \frac{\sqrt{2} \omega_0 l}{\arccos \left(1 - \frac{2 \omega^2_0}{\omega^2_0} \right)} = \frac{\sqrt{2} \omega_0 l}{\pi} = \frac{2}{\pi} c_0\) . (12)

График зависимости скорости волны от его частоты показан на рис. 295. Как видно из проведенного анализа, скорость волны достаточно слабо зависит от ее частоты, а при малых частотах этой зависимость можно пренебречь и считать скорость волны, постоянной.

Но, строго говоря, скорость волны зависит от ее частоты, поэтому рассматриваемая упругая цепочка обладает дисперсией.

19.2.2 Продольные упругие волны в твердом теле.

Рассмотренная система является достаточно хорошей моделью твердого тела. Действительно, шарики можно отождествить с атомами в кубической кристаллической решетке, связанные между собой квазиупругими силами (рис.296). Полученное решение не изменится, если одномерную цепочку заменить трехмерной кристаллической сеткой, рассматривая при этом синхронные колебания кристаллических плоскостей.

Получим для этой решетки выражение для скорости продольной волны, распространяющейся перпендикулярно одной из граней кристаллической решетки. В реальных кристаллах введенная величина ω₀ настолько велика, что даже при ультразвуковых частотах хорошо выполняется низкочастотное приближение. Поэтому для вычисления скорости продольной волны воспользуемся формулой (11), полученной в низкочастотном пределе. Прежде всего, подставим выражение для частоты значение параметра ω₀:

\(~c_0 = \frac{\omega_0 l}{\sqrt{2}} = l \sqrt{\frac{\gamma}{m}}\) (13)

и перейдем в этом выражении к макроскопическим характеристикам твердого тела.

В кубической решетке на один атом решетки приходится объем l³, следовательно, масса одного атома выражается через плотность тела ρ

\(~m = \rho l^3\) . (14)

Закон Гука в наиболее общей форме записывается следующим образом

\(~\sigma = E \varepsilon\) , (15)

где σ - механическое напряжение (сила упругости приходящаяся на единицу площади – аналог давления), возникающее в теле при относительной деформации ε.

Эта форма записи требует некоторого пояснения. Пусть к однородному цилиндру высотой h, изготовленному из некоторого материала, приложена постоянная сила \(~\vec F\), равномерно распределенная по основанию цилиндра, площадью S (Рис. 297). Деформация цилиндра зависит от материала цилиндра, его размеров, приложенной силы. Однако, если вместо преложенной силы использовать механическое напряжение – отношение силы к площади, к которой она приложена \(~\sigma = \frac{F}{S}\); а в качестве меры деформации относительное сжатие – отношение деформации к начальной высоте \(~\varepsilon = \frac{x}{h}\), то коэффициент пропорциональности между этими величинами E в формуле (15) является величиной зависящей только от материала цилиндра, то есть является характеристикой вещества, которая описывает его упругие свойства и называется модулем Юнга. Аналогичные соотношения справедливы и при растяжении цилиндра, поэтому модуль Юнга также называют модулем сжатия и растяжения.

Использованное нами выражение для силы упругости \(F = \gamma u\), действующей между двумя атомами, следует рассматривать как силу, приходящуюся на площадь l², поэтому связано с напряжением соотношением \(F = \sigma^2 l\). Смещение атома связано с относительной деформацией \(u = l \varepsilon\). Подставляя эти выражения в формулу для силы упругости, получим

\(~\sigma l^2 = \gamma l \varepsilon\) . (16)

Сравнивая это выражение с уравнением закона Гука (15), видим, что для коэффициента упругости справедлива формула

\(~\gamma = El\) . (17)

Подставим полученные значения (14) и (17) в формулу для скорости упругих волн (13), получим искомое соотношение

\(~c_0 = l \sqrt{\frac{\gamma}{m}} = l \sqrt{\frac{El}{\rho l^3}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\) . (18)

Эта формула позволяет рассчитать скорость упругих продольных волн в твердых телах. Не смотря на то, что мы ее получили для кубического кристалла, она справедлива для любого твердого тела.

19.2.3 Поперечные волны на упругой цепочке.

Рассмотрим теперь возможность существования поперечных волн на той же упругой цепочке. Для этого будем считать, что шарики могут смещаться только в направлении перпендикулярном цепочке.

Как и ранее, первоначально определим собственную частоту поперечных колебаний шарика, при условии, что два его соседа закреплены (Рис. 298).

Запишем уравнение движения шарика при его малом смещении u в направлении перпендикулярном цепочке. Так как смещение мы считаем малым, то и угол отклонения пружинки α мал, поэтому можно положить \(~\alpha \approx \frac{u}{l}\).

Так как мы рассматриваем малые колебания (и воны малой амплитуды), то следует пренебречь изменением силы натяжения цепочки (изменение этой силы пропорционально x², поэтому в линейном приближении малых колебаний должно быть опущено).

\(~ma = -2T_0 \sin \alpha = -2 T_0 \frac{u}{l}\) . (19)

Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой

\(~\omega_0 = \sqrt{\frac{2 T_0}{m l}}\) . (20)

Отметим, что если в положения равновесия пружинки не натянуты, то даже малые поперечные колебания будут нелинейными, так как возвращающая сила в этом случае будет пропорциональна u³.

Далее запишем уравнение движения одного из шариков бесконечной цепочки в том же приближении малых поперечных смещений:

\(~m a_n = -T_0 \frac{u_n - u_{n-1}}{l} - T_0 \frac{u_n - u_{n+1}}{l}\) . (21)

Приведем подобные члены, разделим на массу шарика m, используем обозначение ω₀, соответствующее формуле (20) и получим уравнение

\(~a_n = -\omega^2_0 u_n + \frac{\omega^2_0}{2} u_{n-1} + \frac{\omega^2_0}{2} u_{n+1}\) , (22)

полностью совпадающее с уравнением (3). Поэтому и его решение будет таким же. Не повторяя хода решения, можно записать формулу для скорости распространения поперечных волн

\(~c = \frac{\omega l}{\arccos \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0} \right)}\) . (23)

При малых частотах, эта формула упрощается до

\(~c_0 = \frac{\omega_0 l}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{T_0 l}{m}}\) . (24)

Как и в случае продольных волн, существует также и предельная частота поперечных волн, способных распространяться по цепочке. Для выяснения смысла этой предельной частоты, вычислим соответствующую ей длину волны. Длина волны рассчитывается по формуле \(~\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{2 \pi c}{\omega}\). Используя выражение (23) и значение максимальной частоты \(~\omega = \omega_0 \sqrt{2}\) получим значение предельной длины волны

\(~\lambda = \frac{2 \pi l}{\arccos \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0} \right)} = 2l\) .

Изобразим эту волну. Рис. 300 достаточно наглядно поясняет, почему существует минимально возможная длина воны, которая может распространяться по данной цепочке. Полностью аналогичная ситуация встретилась нам, при рассмотрении продольных волн, там также существует минимально возможная длина волны, соответствующая максимальной частоте колебаний. Отметим, что и в кристаллах существует предельное значение частоты упругих волн, способных распространяться по нему.

Как и в случае продольных волн, формула для скорости поперечных волн (24) может быть преобразована для скорости волн в кристаллах.

19.2.4. Общие условия существования волн. Волновое уравнение.

Еще раз обратим внимание на совпадение уравнений, описывающих распространение волн: (3) для продольных и (22) для поперечных. Сразу подчеркнем, что такое совпадение не является случайным – фактически мы получили с вами универсальное волновое уравнение.

Вспомните нашу методику изучения гармонических колебаний – там мы также получили универсальное уравнение гармонических колебаний: вторая производная от неизвестной функции пропорциональна самой функции, взятой с противоположным знаком:

\(~x'' = -\omega^2_0 x\) ,

причем коэффициент пропорциональности является квадратом круговой частоты собственных колебаний. Аналогично, волны описываются универсальным уравнением, к изучению которого мы переходим.

Еще раз перепишем это уравнение в несколько иной форме, для чего преобразуем его правую часть

\(~-\omega^2_0 u_n + \frac{\omega^2_0}{2} u_{n-1} + \frac{\omega^2_0}{2} u_{n+1} = \frac{\omega^2_0}{2} ((u_{n+1} - u_n) - (u_n - u_{n-1}))\) ,

и вспомним, что ускорение равно второй производной по времени \(a_n = u''_n\). Таким образом, уравнение приобретает вид

\(~u''_n = \frac{\omega^2_0}{2} ((u_{n+1} - u_n) - (u_n - u_{n-1}))\) . (25)

Внимательно посмотрим на смысл полученного уравнения (точнее системы уравнений).

Первое. Для описания волны нельзя обойтись одной функцией одной переменной – как минимум нужна функция двух переменных (в нашем случае второй переменной является номер шарика – фактические его координата). В общем случае необходимо рассматривать функцию четырех переменных, в прочем, об этом мы уже говорили.

Второе. Сила взаимодействия между двумя соседними частицами пропорциональна разности смещений этих частиц - в уравнении (25) присутствует две таких разности. Физический смысл данного утверждения в случае упругих волн очевиден – силы упругости являются следствиями деформаций, поэтому эти силы появляются только, если расстояния между частицами отличны от равновесных. Пропорциональность между деформацией и силой упругости утверждается на основании закона Гука, который справедлив при малых деформациях.

Наконец, третье. На рассматриваемую частицу действуют силы, только со стороны ее соседей. Чтобы результирующая сила была отлична от нуля необходимо, чтобы силы, действующие со стороны соседей, были различны по модулю. Действительно, при однородной деформации (скажем, вся пружинки цепочки растянуты одинаково) никаких волн не возникает.

Теперь мы можем сформулировать основные условия возможности существования волн в среде: частицы среды должны обладать инерционностью (в нашем случае шарики имеют массу); между частицами среды возникают силы взаимодействия при их отклонении от положения равновесия (очевидно, что такое равновесное состояние также должно существовать).

Применим эти общие рассуждения для доказательства существования волн на поверхности волны (правда, никто не сомневается в этом). Вода обладает инерционностью – ее плотность больше нуля. Для воды в ограниченном объеме (например, в стакане, или в океане) существует равновесное состояние горизонтальное для малого количества (в стакане) и близкое к сферической (в океане). При отклонении поверхности от равновесной на каждую частицу начинают действовать силы, стремящиеся вернуть ее обратно – это силы тяжести и силы поверхностного натяжения. Эти же силы действуют и на соседние частицы, так при подъеме части воды возрастает гидростатическое давление, которое действует и на соседние частицы. Итак, все условия существование поверхностных волн присутствуют, поэтому эти волны существуют.

Рассмотрим еще один пример. Упругие продольные волны могут существовать в любой среде – твердой, жидкой газообразной. Так при возрастании давления в некоторой области газа это давление действует и на соседние объемы (Рис. 301а). Если же какая-то часть газа или жидкости сдвигается без изменения давления (Рис. 301б), то нет сил (действие силы тяжести приводит к возникновению поверхностных волн, о которых мы говорили выше) возвращающих этой слой в исходное положение. Поэтому упругие поперечные волны возможны в твердых телах, но невозможны в жидкостях и газах.

Записанная система уравнений (25) имеет множество решений – мы нашли только одно из них – бегущую волну. В этом нет ничего удивительного, так подобные уравнения (дифференциальные) имеют однозначное решение только при задании необходимых дополнительных условий, о которых мы и не упоминали. Фактически, если при описании некоторой протяженной среды мы пришли к системе уравнений, совпадающей с (25), мы можем только утверждать, во-первых, что в этой среде возможно существование волн; во-вторых, найти скорость распространения этих волн. Для полного решения этой системы уравнений необходимо задать начальные условия, начальные координаты и начальные скорости всех частиц. Кроме того, эти уравнения не включают источников волн. Формально такие источники могут быть описаны, посредством включения в уравнения внешних вынуждающих сил. Второй более простой способ учета источников волн – задать закон движения одной (или нескольких) частиц рассматриваемой среды. Именно так мы поступали, рассматривая волны на упругой цепочке, когда полагали, что один из шариков совершает незатухающие колебания с определенной частотой.

Еще одним существенным свойством рассматриваемой систему уравнений (25) является ее линейность – в уравнения входят только неизвестные функции и их производные в первой степени, отсутствуют также их произведения. Важнейшим следствием линейности уравнений является принцип суперпозиции: любая сумма решений также является решением этой системы. Подчеркнем, что физический принцип суперпозиции является следствием физических законов, на основании которых получены уравнения, а линейность уравнений лишь отражает справедливость принципа суперпозиции для рассматриваемого круга явлений. Так, для рассматриваемых упругих волн принцип суперпозиции является следствием линейности второго закона Ньютона и закона Гука. Поэтому для упругих волн справедлив принцип суперпозиции: возмущение среды в некоторой точке, создаваемое несколькими волнами, равно сумме возмущений, создаваемых каждой волной в отдельности. Можно также сказать, что упругие волны не взаимодействую между собой – движение одной волны не влияет на распространение другой, волны просто складываются в области их перекрытия, а вне этой области характеристики одной волны никак не сказываются на характеристиках другой.

Если для какой либо реальной среды закон Гука не справедлив, то в такой среде могут существовать волны, но они являются нелинейными и принцип суперпозиции для них неприменим. Ярким примером таких волн являются волны на поверхности воды – для волн большой амплитуды скорость волны зависит от ее высоты, поэтому наложение волн приводит к искажению их формы, порой весьма существенному.

Таким образом, использование принципа суперпозиции в волновых процессах требует физического обоснования для каждого типа волн.

В заключение данного раздела проведем предельный переход уравнений (25) к описанию непрерывной среды. В этом случае бесконечный набор функций u_т(t) одной переменной переходит в одну функцию двух переменных u(x,t). Преобразуем еще раз правую часть уравнения

\(~\frac{\omega^2_0}{2} ((u_{n+1} - u_n) - (u_n - u_{n-1})) = \frac{\omega^2_0 l^2}{2} \frac{\frac{u_{n+1} - u_n}{l} - \frac{u_n - u_{n-1}}{l}}{l}\) . (26)

и обратим внимание, что отношение \(~\frac{u_{n+1} - u_n}{l}\) равно отношению разности смещений двух частиц к разности координат между ними, и при разности координат l → 0 оно равно производной от смещения по координате \(~\frac{u_{n+1} - u_n}{l} \to \frac{\partial u}{\partial x}\), причем эта производная вычисляется в средней точке между частицами с номерами (n + 1) и n. Обозначим эту производную \(~\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)_{n + \frac{1}{2}}\). Аналогично, вторая дробь в выражении (26), является производной от смещения по координате, взятой в средней точке между частицами с номерами n и (n − 1): ее можно обозначить \(~\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)_{n - \frac{1}{2}}\). Наконец, разность двух производных, взятых в двух разных точках, деленная на разность координат этих точек стремиться к «производной от производной», то есть второй производной от смещения по координате:

\(~\frac{\frac{u_{n+1} - u_n}{l} - \frac{u_n - u_{n-1}}{l}}{l} \to \frac{\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)_{n + \frac{1}{2}} - \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)_{n - \frac{1}{2}}}{l} \to \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) .

Коэффициент пропорциональности в уравнении (25) равен квадрату скорости распространения волны с² (сравните с формулами (13) и (24)). Заметим, что при переходе к непрерывной среде введенный параметр ω²₀ стремится к бесконечности, поэтому для волн всех частот справедливо «низкочастотной приближение». Таким образом, система уравнений (25), описывающая волны на цепочке, превращается в волновое уравнение для непрерывной среды

\(~\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) . (27)

Восхититесь простотой и изяществом этого уравнения: вторая производная по времени пропорциональна второй производной по координате, причем коэффициент пропорциональности равен квадрату скорости распространения волны. Для волн, распространяющихся в однородном пространстве, волновое уравнение несколько усложняется: в правой части после квадрата скорости появится сумма вторых производных по всем трем координатам. Теперь, если вам необходимо рассчитать скорость волны, вам необходимо получить уравнение вида (27) и извлечь корень квадратный из коэффициента пропорциональности.

Ваше восхищение будет неограниченным (в разумных пределах), если вы самостоятельно убедитесь, что решением этого уравнения является сумма двух любых (!) функция от аргумента (x ± ct):

\(~u(x,t) = F_1 (x + ct) + F_2 (x - ct)\) .

Вот такие уравнения описывают реальные физические процессы – любая функция является их решением. Ничего страшного – это волновое уравнение, а видов волн великое множество, да и не совсем уж любая функция – аргументы ее все-таки заданы однозначно. Если же вам необходимо получить однозначное решение волнового уравнения, то будьте любезны, задать все необходимые дополнительные условия, начальные и граничные, не забудьте также о внешних возбуждающих силах, а при необходимости и о неизбежном затухании. Если все это вы проделаете самостоятельно, то учиться в ВУЗе для вас - излишняя роскошь.

Примечания

Следующая страница