Скорость

Понятие скорости формируется в нашем сознании из повседневного опыта. Наблюдая за различными процессами, происходящими в природе мы можем оценить насколько быстро они протекают. Например, вода в чайнике, заполненном наполовину, закипает быстрее, чем в полном, cахар в горячей воде растворяется быстрее, чем в холодной, велосипедист движется быстрее пешехода, а автомобилист - быстрее велосипедиста. В механике наибольший интерес представляет скорость механического движения. Прежде, чем дать точное определение скорости, рассмотрим следующую ситуацию. Два велосипедиста, поспорили, кто из них ездит быстрее. Для этого они должны были отправиться из пункта 1- на берегу озера в пункт 2 - на противоположном берегу. Первый велосипедист на высокой скорости поехал по дороге вокруг озера, а второй, не торпясь, сел на водный велосипед и прибыл в пункт 2 раньше первого. Мнения судей разошлись. Одни считали, что выиграл первый велосипедист, так как за каждый определенный промежуток времени он проходил большее расстояние, чем второй, а другие утверждали, что - второй, поскольку он быстрее достиг пункта назначения. Но самым интересным в этой истории является то, что все судьи оказались правы! Секрет заключался в том, что они пользовались различными определениями скорости. Первые судьи под скоростью движения понимали путь, проходимый велосипедистом за некоторый промежуток времени, а вторые - величину перемещения. Таким образом, скорость механического движения можно определить двояко: как скорость перемещения или как скорость прохождения пути по траектории ( путевая скорость ). Рассмотрим простейший случай движения тела по прямолинейной траектории, при котором за одинаковые промежутки времени тело проходит одинаковые расстояния. Этот вид движения называется равномерным прямолинейным движением.

В этом случае скоростью перемещения \(~ \vec \upsilon\) называется векторная величина, равная отношению величины перемещения тела \(~\Delta \vec r\) к промежутку времени Δt, за который оно произошло.

\(~\vec \upsilon = \frac {\Delta \vec r} {\Delta t}\) (1.4)

Путевой скоростью тела - \(~\upsilon\) называется скалярная величина, равная отношению пройденного пути к промежутку времени, за который он был пройден.

\(~\upsilon = \frac {\Delta s} {\Delta t}\) (1.5)

Как было указано выше, при прямолинейном движении численная величина ( модуль) перемещения равна величине пройденного пути, т.е.:

\(~ \left|\Delta \vec r\right| = \Delta s\)

откуда:

\(~|\vec \upsilon| = \frac{|\Delta \vec r|} {\Delta t} = \frac {\Delta s } { \Delta t }\) (1.6)

Cледовательно:

При равномерном прямолинейном движении модуль векторной скорости перемещения равен путевой скорости. В общем случае движение не является ни равномерным, ни прямолинейным. В этих случаях быстроту перемещения из точки А в точку В будет характеризовать, средняя скорость перемещения.

Средней скоростью перемещения \(~\vec \upsilon_{cp}\) называется отношение вектора перемещения тела за промежуток времени Δt к величине этого промежутка:

\(~\vec \upsilon_{cp} = \frac{\Delta \vec r} {\Delta t}\) (1.7)

Средней путевой скоростью \(~\upsilon_{cp}\) называется отношение пройденного пути к времени, за который он был пройден:

\(~\upsilon_{cp} = \frac{\Delta s} {\Delta t}\) (1.8)

Очевидно, что средние скорости перемещения и пути не дают представления о скорости движения тела на отдельных участках траектории. Для более точной хактеристики движения тела его траекторию разбивают на более мелкие участки и замеряют среднюю скорость на каждом из них, однако и в этом случае мы не узнаем, как изменялась скорость внутри каждого участка. Для точного определения скорости тела в любой точке траектории или в данный момент времени вводится понятие истинной или мгновенной скорости.

Рис.1.3

Предположим, что тело переместилось на величину \(~\Delta \vec r\) за очень малый промежуток времени Δt (рис.1.3), а пройденный путь Δs равен длине дуги АВ. При неограниченном уменьшении промежутка времени Δt длина дуги АВ и стягивающей ее хорды будет непрерывно уменьшаться, а точка В - приближаться к точке А, и в пределе с ней сольется, а разница между длиной дуги и длиной хорды будет стремиться к нулю.

Предел отношения \(~\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\) при Δt → 0 называется мгновенной скоростью или скоростью в данной точке:

\(~\vec \upsilon =\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec r} {\Delta t} = \frac{d \vec r} {dt}\). (1.9)

Поскольку, в пределе, длина дуги совпадает с длиной хорды, то есть пройденный путь \(~ds\) cовпадает с модулем перемещения \(ds = ~\left|d\vec r\right|\), то модуль вектора мгновенной скорости перемещения равен мгновенной скорости прохождения пути:

\(~\upsilon = \frac{\left|d\vec r\right|} {dt} = \frac{ds} {dt}\) (1.10)

Поэтому есть смысл говорить просто о мгновенной скорости тела, имея в виду векторную величину - \(~\vec \upsilon\) - скорость перемещения, или скалярную \(~\upsilon\) - скорость прохождения пути.

Примечание. Когда в физике говорят о бесконечно малых величинах под этим, в отличие от математики, подразумевают относительно очень малые, но не как угодно малые величины. Возможность измерять как угодно малые величины ограничивается не только несовершенством измерительных приборов, но принципиальной невозможностью их измерения существующими методами. Например, с помощью линейки невозможно измерить размеры меньше 1мм, а с помощью оптических микроскопов невоможно измерять длины, соизмеряемые с длинами световых волн, а электронным микроскопом - размеры частиц, соизмеримые с размером электрона. Кроме того, в микромире само вмешательство измерительного прибора влияет на результат измерения.