Решение. Движение заряженных частиц в электростатическом поле. С1

С1. Найдите отношение скоростей ионов Cu⁺⁺ и K⁺, прошедших одинаковую разность потенциалов.

Решение

Работа электростатического поля при перемещении заряда (иона) равна

\(A = q \cdot \left ( \varphi_1 - \varphi_2 \right )\).

Данная работа идет на изменение кинетической энергии заряда, т.е.

\(A = \Delta W_k = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2} - \frac{m \cdot \upsilon_0^2}{2}\),

где υ₀ = 0 (по умолчанию) – начальная скорость иона. Массу иона (атома) найдем из соотношения \(m = \frac{M}{N_A}\) (потерей масс одного или двух электронов можно пренебречь). Тогда

\(q \cdot \left ( \varphi_1 - \varphi_2 \right ) = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2};\) \( \upsilon = \sqrt { \frac {2q \cdot \left ( \varphi_1 - \varphi_2 \right )}{m}} = \sqrt { \frac {2q \cdot \left ( \varphi_1 - \varphi_2 \right ) \cdot N_A}{M}} \qquad (1)\).

Для первого иона Cu⁺⁺ уравнение (1) примет вид

\( \upsilon_1 = \sqrt { \frac {2q_1 \cdot \left ( \varphi_1 - \varphi_2 \right ) \cdot N_A}{M_1}}\);

для второго иона K⁺ –

\( \upsilon_2 = \sqrt { \frac {2q_2 \cdot \left ( \varphi_1 - \varphi_2 \right ) \cdot N_A}{M_2}}\),

где q₁ = 2q₂ = 2e, е – элементарный заряд, M₁ ≈ 0,0635 кг/моль, M₂ ≈ 0,0391 кг/моль – молярные массы Cu и K соответственно. В итоге получаем

\( \frac {\upsilon_1}{\upsilon_2} = \sqrt {\frac {2q_1 \cdot \left (\varphi_1 - \varphi_2 \right) \cdot N_A}{M_1} \cdot \frac {M_2}{2q_2 \cdot \left (\varphi_1 - \varphi_2 \right ) \cdot N_A}} = \sqrt {\frac {q_1 \cdot M_2}{q_2 \cdot M_1}} = \sqrt { \frac {2M_2}{M_1}};\)

\(\frac {\upsilon_1}{\upsilon_2} \approx \; 1,11.\) Скорость иона Cu⁺⁺ больше скорости K⁺ в 1,11 раза.