КС. Свободное падение

Свободное падение

Вы знаете, что при падении любого тела на Землю его скорость увеличивается. Долгое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения как будто подтверждают это.

Но только Галилею удалось опытным путем доказать, что в действительности это не так. Нужно учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину свободного падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной атмосферы. Для проверки своего предположения Галилей, по преданию, наблюдал падение со знаменитой наклонной Пизанской башни различных тел (пушечное ядро, мушкетная пуля и т. д.). Все эти тела достигали поверхности Земли практически одновременно.

Особенно прост и убедителен опыт с так называемой трубкой Ньютона. В стеклянную трубку помещают различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пушинки и т. д. Если теперь перевернуть трубку так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего промелькнет дробинка, за ней кусочки пробки и, наконец, плавно опустится пушинка (рис. 1, а). Но если выкачать из трубки воздух, то все произойдет совершенно иначе: пушинка будет падать, не отставая от дробинки и пробки (рис. 1, б). Значит, ее движение задерживалось сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением.

Рис. 1

• Свободным падением называется движение тела только под влиянием притяжения к Земле (без сопротивления воздуха).

Ускорение, сообщаемое всем телам земным шаром, называют ускорением свободного падения. Его модуль мы будем обозначать буквой g. Свободное падение не обязательно представляет собой движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнет падать вниз.

Движение тела по вертикали

• Уравнение проекции скорости на ось 0Y\[~\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,\]

уравнение движения вдоль оси 0Y\[~y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,\]

где y₀ — начальная координата тела; υ_y — проекция конечной скорости на ось 0Y; υ_0y — проекция начальной скорости на ось 0Y; t — время, в течение которого изменяется скорость (с); g_y — проекция ускорения свободного падения на ось 0Y.

• Если ось 0Y направить вверх (рис. 2), то g_y = –g, и уравнения примут вид

\(~\begin{array}{c} {\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} -g\cdot t,} \\ {\, y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t-\dfrac{g\cdot t^{2} }{2} =y_{0} -\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g} .} \end{array}\)

Рис. 2 Скрытые данные При движении тела вниз

• «тело падает» или «тело упало» — υ_0у = 0.

Если за начало отсчета принять поверхность Земли, то:

• «тело упало на землю» — h = 0.

При движении тела вверх

• «тело достигло максимальной высоты» — υ_у = 0.

Если за начало отсчета принять поверхность Земли, то:

• «тело упало на землю» — h = 0;

• «тело бросили с земли» — h₀ = 0.

• Время подъема тела до максимальной высоты t_под равно времени падения с этой высоты в исходную точку t_пад, а общее время полета t = 2t_под.

• Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально вверх c нулевой высоты (на максимальной высоте υ_y = 0)

\(~h_{\max } =\dfrac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{-2g} =\dfrac{\upsilon _{0y}^{2} }{2g}.\)

Движение тела, брошенного горизонтально

Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально. Траекторией является парабола с вершиной в точке бросания (рис. 3).

Рис. 3

Такое движение можно разложить на два:

1) равномерное движение по горизонтали со скоростью υ_0х (a_x = 0)

• уравнение проекции скорости\[~\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} =\upsilon _{0} \];
• уравнение движения\[~x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t\];

2) равноускоренное движение по вертикали с ускорением g и начальной скоростью υ_0у = 0.

Для описания движения вдоль оси 0Y применяются формулы равноускоренного движения по вертикали:

• уравнение проекции скорости\[~\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t\];

• уравнение движения\[~y=y_{0} +\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} }{2g_{y} } \].

• Если ось 0Y направить вверх, то g_y = –g, и уравнения примут вид:

\(~\begin{array}{c} {\upsilon _{y} =-g\cdot t,\, } \\ {y=y_{0} -\dfrac{g\cdot t^{2} }{2} =y_{0} -\dfrac{\upsilon _{y}^{2} }{2g} .} \end{array}\)

• Дальность полета определяется по формуле\[~l=\upsilon _{0} \cdot t_{nad} .\(~ *Скорость тела в любой момент времени ''t'' будет равна (рис. 4): <math>~\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} } ,\]

где υ_х = υ_0x, υ_y = g_y•t или υ_х = υ∙cos α, υ_y = υ∙sin α.

Рис. 4

При решении задач на свободное падение

1. Выберите тело отсчета, укажите начальное и конечное положения тела, выберите направление осей 0Y и 0Х.

2. Изобразите тело, укажите направление начальной скорости (если она равна нулю, то направление мгновенной скорости) и направление ускорения свободного падения.

3. Запишите исходные уравнения в проекциях на ось 0Y (и, при необходимости, на ось 0X)

<math>~\begin{array}{c} {0Y:\; \; \; \; \; \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,\; \; \; (1)} \\ {} \\ {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,\; \; \; \; (2)} \\ {} \\ {0X:\; \; \; \; \; \upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +g_{x} \cdot t,\; \; \; (3)} \\ {} \\ {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\dfrac{g_{x} \cdot t^{2} }{2} .\; \; \; (4)} \end{array}\)

4. Найдите значения проекций каждой величины

x₀ = …, υ_x = …, υ_0x = …, g_x = …, y₀ = …, υ_y = …, υ_0y = …, g_y = ….

Примечание. Если ось 0Х направлена горизонтально, то g_x = 0.

5. Подставьте полученные значения в уравнения (1) - (4).

6. Решите полученную систему уравнений.

Примечание. По мере наработки навыка решения таких задач, пункт 4 можно будет делать в уме, без записи в тетрадь.