КС. СТО

Основные следствия из теории относительности

\(~\tau = \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}\) ,

где τ – промежуток времени между событиями в неподвижной СО (системе отсчета), относительно которой движется подвижная СО со скоростью υ (с); τ₀ – собственное время – промежуток времени между событиями в подвижной СО (с); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с; υ – скорость подвижной СО (м/с).

• Скорость тел может измеряться в скоростях света, например, υ = 0,8с = 0,8·3,0·10⁸ м/с = 2,4·10⁸ м/с.
• Время в отдельных задачах будем измерять в годах.
• Для проверки результата, не забывайте про эффект релятивистского замедления времени, т.е. время в неподвижной СО больше времени в подвижной СО.

\(~l = l_0 \cdot \sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}\) ,

где l – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется со скоростью υ (м); l₀ – собственная длина тела – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится (м); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с; υ – скорость тела (м/с).

• При движении тела размерами a х b х c, изменяются только размеры тела в направлении скорости, т.е. если скорость тела направлена вдоль стороны а, то уменьшится сторона а, а стороны b и c не поменяются.
• Для проверки результата, не забывайте про эффект релятивистского сокращения длины, т.е. длина тела относительно наблюдателя в неподвижной СО меньше собственной длины тела.

• В российской педагогической литературе идет процесс изъятия из учебной программы понятия «массы, зависящей от скорости», как не имеющего ни малейшего физического смысла [см. Берков А.В. Еще раз о массе // Физика. – 2004. – №3. – С. 11-12.]. НО из программы республики Беларусь это понятие до сих пор не исключено. В данном дидактическом пособии такие «не физические» задачи и формулы отмечены значком «бп» (белорусская программа).

\(~m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}\) ^бп ,

где m – масса движущегося тела (кг); m₀ – масса покоя (кг); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с; υ – скорость тела (м/с).

• Масса элементарных частиц может измеряться в а.е.м., где 1 а.е.м. ≈ 1,66·10^-27 кг.
• Для проверки результата можно учитывать, что масса движущегося тела больше массы покоящегося тела.

Релятивистский закон сложения скоростей

1 способ. Релятивистский закон сложения параллельных скоростей:

\(~\upsilon_{tonx} = \frac{\upsilon_{topx} + \upsilon_{cx}}{1 + \frac{\upsilon_{topx} \cdot \upsilon_{cx}}{c^2}}\) или \(~\upsilon_{topx} = \frac{\upsilon_{tonx} - \upsilon_{cx}}{1 - \frac{\upsilon_{tonx} \cdot \upsilon_{cx}}{c^2}}\) ,

где υ_tonx – проекция скорости тела относительно неподвижной СО на ось 0Х (м/с); υ_topx – проекция скорости тела относительно подвижной СО на ось 0Х (м/с); υ_cx – проекция скорости подвижной СО относительно неподвижной на ось 0Х (м/с); ось 0Х направляем вдоль одной из скоростей, например, вдоль скорости подвижной СО.

2 способ. Релятивистский закон сложения параллельных скоростей:

\(~\upsilon_{1x} = \frac{\upsilon_{2x} + \upsilon_{1/2x}}{1 + \frac{\upsilon_{2x} \cdot \upsilon_{1/2x}}{c^2}}\) или \(~\upsilon_{1/2x} = \frac{\upsilon_{1x} - \upsilon_{2x}}{1 - \frac{\upsilon_{1x} \cdot \upsilon_{2x}}{c^2}}\) ,

где υ_1x – проекция скорости первого тела на ось 0Х (м/с); υ_2x – проекция скорости второго тела на ось 0Х (м/с); υ_1/2x – проекция скорости первого тела относительно второго на ось 0Х (м/с).

• Для проверки результата, не забывайте про то, что скорость света c является наибольшей скоростью всех движений.

НАПОМИНАЮ закон сложения скоростей классической механики

1 способ. \(~\vec \upsilon_{ton} = \vec \upsilon_{top} + \vec \upsilon_c\) или \(~\vec \upsilon_{top} = \vec \upsilon_{ton} - \vec \upsilon_c\) . 2 способ. \(~\vec \upsilon_1 = \vec \upsilon_2 + \vec \upsilon_{1/2}\) или \(~\vec \upsilon_{1/2} = \vec \upsilon_1 - \vec \upsilon_2\) .

• Если две частицы движутся вдоль общей прямой 0Х в заданной инерциальной системе отсчета с некоторыми скоростями υ₁ и υ₂, то можно ставить вопрос о скорости их взаимного сближения или удаления. Такая скорость не является скоростью какой-либо одной из частиц, поэтому не имеет направления и равна υ_сбл = |υ_1x - υ_2x|. Подобное сложение скоростей не определяется скоростью материальной частицы относительно системы отсчета и не имеет никакого отношения к закону сложения скорости.

Связь между массой и энергией

\(~E_0 = m \cdot c^2\) ,

где E₀ – энергия покоя тела (Дж); m – масса (неподвижного) тела (кг); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с.

• Энергия элементарных частиц может измеряться в МэВ, где 1 МэВ ≈ 1,6·10^-13 Дж.

\(~\Delta E = \Delta m \cdot c^2\) ,

где ΔE – изменение энергии тела (Дж); Δm – изменение массы тела (кг); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с.

\(~E = \frac{m \cdot c^2}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}\) ,

где E – полная энергия тела (Дж); m – масса (неподвижного) тела (кг); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с; υ – скорость тела (м/с).

\(~E_k = E - E_0\) ,

где E_k – кинетическая энергии тела (Дж); \(~E = \frac{m \cdot c^2}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}\) – полная энергия тела (Дж); \(~E_0 = m \cdot c^2\) – энергия покоя тела (Дж); m – масса (неподвижного)тела (кг).

• Классическая формула кинетической энергии \(~E_k = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}\) .

Релятивистская динамика

Основной закон релятивистской динамики

\(~\frac{\Delta \vec p}{\Delta t} = \vec F\) ,

где \(~p = \frac{m \cdot \upsilon}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}\) – значение импульса тела (кг·м/с); m – масса тела (кг); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с; υ – скорость тела (м/с); F – значение равнодействующей силы, действующей на тело (Н).

• Классическая формула \(~\vec F = m \cdot \vec a\) – Второй закон Ньютона.

\(~p = \frac{m \cdot \upsilon}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}\) ,

где р – импульс тела (кг·м/с); m – масса тела (кг); c – скорость света в вакууме, равная 3,0·10⁸ м/с.

• Классическая формула импульса тела \(~p = m \cdot \upsilon\) .