КС. Постоянный ток для участка цепи

Электрический ток

Электрический ток непосредственно не наблюдается, о существовании тока в проводнике судят по его действиям. Различают следующие действия тока:

• тепловое – проводник с током нагревается;
• химическое – на электродах, опущенных в жидкость, выделяется вещество;
• магнитное – проводник с током притягивает стальные предметы;
• механическое – проводник с током, помещенный вблизи магнита, приходит в движение.

За направление тока принято направление движения по проводнику положительно заряженной частицы.

Электрическая цепь

Для изображения электрической цепи используются стандартные условные обозначения.

Условное обозначение	Название
	1. Гальванический элемент, аккумулятор. 2. Батарея элементов. 3. Источник переменного тока.
	4. Лампа накаливания. 5. Резистор. 6. Реостат с двумя клеммами. 7. Реостат с тремя клеммами. 8. Выключатель (ключ).
	9. Провод. 10. Соединение проводов при ответвлении. 11. Пересечение проводов без соединения. 12. Соединение проводов при пересечении.

Сила тока

\(~I = \frac{\Delta q}{\Delta t}\) ,

где I – сила тока в проводнике (А), Δq – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника (Кл), Δt – время прохождения тока (с).

• Эта формула верна только для постоянного тока, т.е. I = const .

\(~j = \frac{I}{S}\) ,

где j – плотность тока в проводнике (А/м²), I – сила тока в проводнике (А), S – площадь поперечного сечения проводника (м²).

\(~I = q \cdot n \cdot S \cdot < \upsilon_d > , j = q \cdot n \cdot < \upsilon_d >\) ,

где I – сила тока в проводнике (А), q – заряд свободной частицы, создающей ток (заряд проводимости) (Кл) (для металлов q = е ≈ 1,6·10^-19 Кл), n – концентрация свободных заряженных частиц (м^-3), S – площадь поперечного сечения проводника (м²), <υ_d> – средняя скорость упорядоченного движения (скорость дрейфа) зарядов проводимости (м/с), j – плотность тока (А/м²).

Электрическое сопротивление

\(~R = \rho \cdot \frac{l}{S}\) ,

где R – электрическое сопротивление проводника (Ом), ρ – удельное сопротивление проводника, табличная величина (Ом·м или Ом·мм²/м), l – длина проводника (м), S – площадь поперечного сечения проводника (м² или мм²).

В задачах данной темы единица измерения удельного сопротивления проводника зависит от единицы измерения его площади поперечного сечения:

• если [S] = м², то [ρ] = Ом∙м,
• если [S] = мм², то [ρ] = Ом·мм²/м.

\(~G = \frac{1}{R}\) ,

где G – электрическая проводимость проводника (Ом^-1), R – электрическое сопротивление проводника (Ом).

Зависимость электрического сопротивления от температуры

\(~\rho = \rho_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta t)\) ,

где ρ – удельное сопротивление вещества при некоторой температуре t (Ом·м или Ом·мм²/м), ρ₀ – удельное сопротивление вещества при температуре t₀ = 0 °С (Ом·м или Ом·мм²/м), α – температурный коэффициент сопротивления вещества, табличная величина(°С^-1 или град^-1), Δt = t - t₀ – изменение температуры (°С).

\(~R = R_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta t)\) ,

где R – сопротивление проводника при некоторой температуре t (Ом), R₀ – сопротивление проводника при температуре t₀ = 0 °С (Ом), α – температурный коэффициент сопротивления вещества, табличная величина(°С^-1 или град^-1), Δt = t - t₀ – изменение температуры (°С).

Закон Ома

\(~I = \frac{U}{R}\) ,

где I – сила тока, проходящая через проводник (А), R – сопротивление проводника (Ом), U –напряжение на проводнике (В).

Уравнение \(~j = \frac{E}{\rho}\) или \(~\vec j = \frac{\vec E}{\rho}\) – это математическая запись закона Ома в дифференциальной форме.

Измерительные приборы

Для измерения в проводнике R₁ силы тока применяют амперметр, который включают последовательно с этим проводником (рис. 1).

Рис. 1

Для измерения на проводнике R₁ напряжения применяют вольтметр, который включают параллельно этому проводнику (рис. 2).

Рис. 2

• При включении этих приборов необходимо соблюдать полярность.

Прибор можно включать в сеть, т.е. он не сгорит, если

• или напряжение (U_max), на которое рассчитан прибор, не меньше напряжения (U_пр), которое будет на приборе, т.е. U_max ≥ U_пр ;
• или сила тока (I_max), на которую рассчитан прибор, не меньше силы тока (I_пр), который будет проходить через прибор, т.е. I_max ≥ I_пр .

НО наилучший (оптимальный) режим работы прибора, если эти параметры совпадают, т.е. U_max = U_пр , I_max = I_пр .

Каждый измерительный прибор (амперметр и вольтметр) рассчитан на определенные максимальные значения силы тока I_max и напряжение U_max.

Шунт и добавочное сопротивление

Если амперметр необходимо включить в сеть с силой тока I > I_{A max} , то параллельно прибору включают такой резистор сопротивлением R_ш (рис. 3), что через амперметр I_A = I_{A max} . Этот резистор называют шунт.

Рис. 3

Если вольтметр необходимо включить в сеть с напряжением U > U_{V max} , то последовательно прибору включают такой резистор сопротивлением R_д (рис. 4), что на вольтметре U_V = U_{V max} . Этот резистор называют добавочным сопротивлением.

Рис. 4

Соединение проводников

соединение	формулы	схема
Последовательное	\(~R = R_1 + R_2 + \ldots + R_N\) . Если R1 = R2 = … = RN , то \(~R = N \cdot R_1\)
Параллельное	\(~\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots + \frac{1}{R_N}\) . Если R1 = R2 = … = RN , то \(~R = \frac{R_1}{N}\)

Признаки последовательного и параллельного соединения элементов Для последовательного соединения элементов:

1. электрический ток проходит через данные элементы, не разветвляясь.

Для параллельного соединения элементов:

1. элементы соединены между собой с двух сторон только проводниками с нулевым сопротивлением;
2. электрический ток разветвляется на несколько частей (по числу параллельных элементов), а потом, пройдя эти элементы, вновь соединяется.

• Если не выполняются признаки ни последовательного, ни параллельного соединения, то такое соединение будем называть смешанным.

соединение	формулы	схема
Последовательное	\(~I = I_1 = I_2 = \ldots = I_N\) , \(~U = U_1 + U_2 + \ldots + U_N\) . Если R1 = R2 = … = RN , то \(~U = N \cdot U_1\)
Параллельное	\(~I = I_1 + I_2 + \ldots + I_N\) , \(~U = U_1 = U_2 = \ldots = U_N\) . Если R1 = R2 = … = RN , то \(~I = N \cdot I_1\)

При решении задач на определение силы тока, напряжения и сопротивления на различных участках цепи рекомендуется:

1. Сделать схематический рисунок электрической цепи, указать на нем все величины, которые даны или которые надо найти.
   • Величины, характеризующие один и тот же элемент цепи, обозначайте одинаковыми индексами.
   • Следите за тем, чтобы одна и та же величина обозначалась одним и тем же индексом в условии, на схеме и в решении.
2. Для применения закона Ома, выделяйте участки цепи, для которых известны (или их можно определить) две величины из трех: I, U, R.
   • Не забывайте про принцип соответствия, т.е.

   \(~I_1 = \frac{U_1}{R_1} , I_{1/2} = \frac{U_{1/2}}{R_{1/2}} , I_0 = \frac{U_0}{R_0}\) .

3. Выделите участки цепи, соединенные последовательно или параллельно. Учтите, что сила тока равна на всех последовательно соединенных участках, напряжение – на параллельных участках. Используйте другие законы последовательного и параллельного соединения. При необходимости замените рассматриваемую схему эквивалентной.

Смешанное соединение

Для нахождения сопротивления цепи при смешанном соединении используют различные методы преобразования цепей.

Рассмотрим один из таких методов – шаговый (рекуррентный). Этот метод удобно применять в том случае, когда схема состоит из повторяющихся элементов (резисторов). Шаговый метод основан на том, что результат первого действия (шага) используется во втором, второй – в третьем и т.д. Число шагов зависит от числа повторяющихся структурных элементов.

Например, часть схемы состоит из двух резисторов R₁ и R₂, соединенных последовательно. Заменяем эти два резистора одним, с сопротивлением R_1/2 = R₁ + R₂ (последовательное соединение) и в дальнейшем рассматриваем уже цепь с резистором R_1/2.

Если в схеме смешанное соединение проводников, то применять только правила последовательного и параллельного соединения для нахождения общего сопротивления такой схемы нельзя. В таком случае нужно попытаться, если возможно, такую схему упростить, заменив ее эквивалентной, общее сопротивление которой равно общему сопротивлению схемы, приведенной в задаче.

В литературе описано несколько методов преобразования электрических цепей. В этих статьях описаны и методы упрощения схем, имеющих точки равного потенциала. Но при решении подобных задач авторы обычно пишут так: «Из симметрии ветвей цепи видно, что точки В и D имеют равные потенциалы», хотя это видимость не совсем очевидна.

Рассмотрим способы нахождения точек одинакового потенциала более подробно. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R₁, R₂, …, R₈. (рис. 5).

Рис. 5

Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 6).

Рис. 6

1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.

Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки C₁ и C₂ (рис. 6) будут симметричны относительно прямой АВ, если R₁ = R₂ (сопротивления между точкой А и C₁ и между точкой А и C₂ равны) и R₅ = R₆ (сопротивления между точкой В и C₁ и между точкой В и C₂ равны). Аналогично, точки C₃ и C₄ будут симметричны относительно прямой АВ, если R₃ = R₄ и R₇ = R₈.

2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки C₁ и C₂ (рис. 5) имеют одинаковый потенциал, если \(~\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_5}{R_6}\) . Аналогично, точки C₃ и C₄ имеют одинаковый потенциал, если \(~\frac{R_3}{R_4} = \frac{R_7}{R_8}\) .

Метод объединения равнопотенциальных узлов: точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы.

Если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход:

• узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы – метод разделения узлов.

Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений).

Работа и мощность тока для участка цепи

\(~A = U \cdot I \cdot \Delta t\) ,

где A – работа электрического тока или израсходованная электроэнергия на участке цепи (Дж); I – сила тока (А); U – напряжение на участке (В); Δt – время прохождения тока (с).

С учетом закона Ома для участка цепи \(~I = \frac{U}{R}\) , работу тока можно найти, если известны время Δt и любые две величины из трех: I, U, R.

\(~A = I^2 \cdot R \cdot \Delta t\) или \(~A = \frac{U^2}{R} \cdot \Delta t\) ,

где R – сопротивление участка (Ом).

Если на участке цепи не совершается механическая работа и ток не производит химического или иного действия, то

\(~A = Q\) ,

где Q – количество теплоты, выделяемое проводником с током (Дж).

\(~P = \frac{A}{\Delta t}\) ,

где P – мощность тока (Вт); A – работа электрического тока или израсходованная электроэнергия на участке цепи (Дж); Δt – время прохождения тока (с).

Так как \(~A = U \cdot I \cdot \Delta t\) , а \(~I = \frac{U}{R}\) , то мощность тока можно также найти, если известны любые две величины из трех: I, U, R.

\(~P = U \cdot I\) , \(~P = I^2 \cdot R\) или \(~P = \frac{U^2}{R}\) ,

где U – напряжение на участке (В); I – сила тока (А); R – сопротивление участка (Ом).