А. Сложение колебаний

Принцип суперпозиции. Сложение колебаний

Часто тело участвует в двух или нескольких колебаниях. Например, груз, подвешенный на пружине к потолку рессорного вагона, колеблется относительно точки подвеса, которая в свою очередь совершает колебания вместе с вагоном на его рессорах. Таким образом, груз будет совершать движение, складывающееся из двух колебаний. В таких случаях необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. По принципу суперпозиции эти колебания рассматриваются как независимые, и результирующее смещение находится в каждый момент времени как векторная сумма смещений отдельных колебаний. В случае сложения колебаний, направленных по одной прямой, результирующее смещение равно алгебраической сумме смещений отдельных колебаний.

При сложении колебаний можно пользоваться аналитическим, графическим методами и методом векторных диаграмм.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

\(x_1 = A_1 x \cos (\omega t + \varphi_1); \) \(x_2 = A_2 x \cos (\omega t + \varphi_2); \)

1. Аналитический метод. Результирующее смещение

\(x = x_1 + x_2 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(\omega t + \varphi_2).\)

Покажем, что результирующее колебание также является гармоническим колебанием той же частоты, т.е. что

\(x = A \cos (\omega t + \varphi),\)

где А — амплитуда результирующего колебания; \(\varphi\) — его начальная фаза. Тогда

\(A \cos (\omega t + \varphi) = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(\omega t + \varphi_2).\)

Используя формулу косинуса суммы двух углов, получим

\(A \cos \omega t \cos \varphi - A sin \omega t \sin \varphi = A_1 \cos \omega t \cos \varphi_1 - A_1 \sin \omega t \sin \varphi_1 + A_2 \cos \omega t \cos \varphi_2 - A_2 \sin \omega t \sin \varphi_2,\)

Это уравнение будет тождеством относительно t, если коэффициенты при \(~\cos \omega t\) и \(~\sin \omega t\) в его левой части равны соответствующим коэффициентам в правой части в любой момент времени:

\(A \cos \varphi = A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2,\) \(A \sin \varphi = A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2.\)

Решив эту систему уравнений, получим

\(A = sqrt{A^2_1+A^2_2+2A_1A_2 \cos(\varphi_2-\varphi_1)}\) \(tg \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2}.\)

2. Графический метод. Сложение сводится к суммированию ординат в каждый момент времени (чем больше точек, тем точнее) — рисунок 13.6.

Рис. 13.6

3. Метод векторных диаграмм. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 13.7). Так как векторы \(\vec A_1\) и \(\vec A_2\) вращаются с одинаковой угловой скоростью, то угол между ними, а значит, и разность фаз \((\varphi_2 - \varphi_1)\) составляющих колебаний, остаются постоянными. Результирующее смещение \(~x = x_1 + x_2\), где х₁ + х₂ — сумма проекций векторов \(\vec A_1\) и \(\vec A_2\) на ось Ох. Из математики известно, что сумма проекций векторов равна проекции вектора суммы, т.е. \(~A_{1x} + A_{2x}=A_x,\) где \(A = \vec A_1 + \vec A_2.\) Следовательно, амплитуда результирующего колебания равна модулю вектора \(\vec A\). Из рисунка 13.7 видно, что по теореме косинусов

Рис. 13.7

\(A = \sqrt{A^2_1+A^2_2-2A_1A_2 \cos(\pi-(\varphi_2-\varphi_1))} = \sqrt{A^2_1+A^2_2-2A_1A_2 \cos(\varphi_2-\varphi_1)}.\)

Угол наклона \(\varphi\) вектора к оси Ох равен начальной фазе результирующего колебания. Из рисунка 13.7 видно, что Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз \(\varphi_2-\varphi_1\) При сложении гармонических колебаний одного направления, но разных частот, результирующее колебание не является гармоническим. Еще более сложными оказываются результирующие колебания, полученные при сложении колебаний, происходящих в разных направлениях.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 371-373.