Kvant. Конус трения
Варламов А.А. Конус трения //Квант. — 1986. — № 1. — С. 24-25.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
Если рассмотреть условия равновесия тела на наклонной плоскости, угол наклона которой можно изменять, то легко получить (сделайте это самостоятельно), что тело начнет соскальзывать с плоскости при угле φ таком, что
где μ — коэффициент трения тела о плоскость. Не кажется ли вам удивительным, что этот угол не зависит от массы тела?
То же самое выражение для угла φ можно получить и другим, пожалуй, более простым способом. Но для этого надо предварительно познакомиться с понятием «конус трения».
Пусть тело, которое можно считать материальной точкой, находится на шероховатой горизонтальной плоскости. Сила тяжести \(~m \vec g\) прижимает тело к поверхности, и поверхность «откликается», действуя на тело силой нормального давления \(~\vec N\). Если же к телу приложена также и некоторая горизонтальная сила, то со стороны поверхности появляется еще одна сила — сила трения. Пока величина горизонтальной силы не превышает максимального значения силы трения покоя Fтр.п. max = μN, тело покоится. При достижении этого значения тело начинает двигаться, причем поверхность действует на него препятствующей движению силой трения скольжения
Как сила нормальной реакции, так и сила трения порождаются поверхностью, поэтому можно говорить о полной силе реакции поверхности. В случае, когда тело под действием внешней силы (конечно, включающей в себя силу тяжести) движется вдоль поверхности (рис. 1), полная сила реакции есть
Эта сила направлена под углом φ к нормали, который легко определить:
Угол φ называют углом трения.
Будем теперь мысленно вращать вектор \(~\vec R\) вокруг нормали к поверхности, не меняя угла φ между ними. При этом вектор опишет конус (с углом 2φ при вершине), называемый конусом трения. Он обладает следующим замечательным свойством. Какая бы большая по величине внешняя сила не прикладывалась к телу, если она лежит внутри конуса трения, тело остается в покое. Если же эта сила выходит за пределы конуса трения, то, какой бы малой она не была, тело начинает двигаться.
В справедливости этого утверждения убедиться нетрудно. Действительно, пусть внешняя сила \(~\vec F\) (см. рис. 1) приложена к телу так, что ее линия действия составляет угол α с нормалью к поверхности. Тогда «сдвигающая» тело вдоль поверхности сила равна F sin α, а сила нормальной реакции равна F cos α. Таким образом, предельно возможная сила трения покоя, удерживающая тело на месте, есть
Пока сила \(~\vec F\) лежит внутри конуса трения, α < φ и, следовательно, F sin α < F tg φ cos α. Тело при этом покоится. Однако как только угол α становится больше угла трения φ, последнее неравенство нарушается. Теперь трение уже не в состоянии удержать тело на месте, и оно начинает скользить. Вернемся к телу, оставленному в начале статьи на наклонной плоскости, и построим для него конус трения (рис. 2).
Внешней силой здесь служит сила тяжести \(~m \vec g\) направленная вертикально вниз. Пока α < φ, согласно сказанному выше, тело будет покоиться. Но как только угол α превысит угол φ — начнется движение. Поэтому мы сразу же получаем условие начала соскальзывания тела с наклонной плоскости:
Заметим, что понятием конуса трения пользуются инженеры при расчете той или иной конструкции. Так, например, даже при проектировании табуретки следует помнить о конусе трения.
Представьте себе табуретку, ножки которой соединены с сидением шарнирами (рис. 3). Конечно, в действительности никто не станет так делать, однако такая система крепления позволит нам легче разобраться с ролью конуса трения. Поставим такую табуретку на пол так, чтобы угол α, который ножки составляют с нормалью к полу, был меньше угла трения φ. В этом случае как бы мы не нагружали табуретку, ножки ее не разъедутся — сила, с которой каждая ножка действует на пол, лежит в пределах соответствующего конуса трения. Если же угол α сделать больше угла φ, то сила, с которой ножка действует на пол, выйдет за пределы конуса трения, ножки разъедутся и табуретка упадет.
У реальной табуретки ножки соединены с сидением не с помощью шарниров, а вклеены или вкручены в него.
Однако если сделать так, чтобы угол α превысил угол трения φ, то в месте соединения ножек табуретки с сидением могут возникнуть значительные напряжения и табуретка сломается.
