Слободянюк А.И. Физика 10/9.6. Поле равномерно заряженной плоскости

Материал из PhysBook

Перейти к: навигация, поиск

Содержание книги

Предыдующая страница

§9. Электрическое поле и его свойства

9.6. Поле равномерно заряженной плоскости

Решим задачу, которая нам неоднократно понадобится в дальнейшем. Пусть электрическое поле создается зарядами, которые равномерно распределены по бесконечной плоскости.

Конечно, в реальности бесконечно больших поверхностей не существует. В данном случае, мы подразумеваем, что точка A, в которой рассчитывается напряженность поля, находится на расстоянии h от плоскости, которое значительно меньше расстояний до краев заряженного участка (рис. 165). В этом случае влияние зарядов, расположенных достаточно далеко от рассматриваемой точки становится пренебрежимо малым. Проводить расчеты для бесконечно больших плоскостей оказывается проще, чем для конечных участков.

В качестве характеристики распределения зарядов введем величину σ — поверхностную плотность заряда. Выберем на плоскости произвольную точку с координатами (x, y), окружим ее малой площадкой площадью ΔS. Пусть заряд этой выделенной площадки равен ΔQ, тогда средняя поверхностная плотность заряда определяется как отношение заряда площадки к ее площади ~\sigma = \frac{\Delta Q}{\Delta S} . При уменьшении площади выделенной площадки, получим поверхностную плотность заряда в данной точке поверхности

~\sigma(x,y) = \frac{\Delta Q}{\Delta S}, при ΔS → 0 . (1)

Для равномерно заряженной поверхности поверхностная плотность заряда постоянна σ(x, y) = σ = const.

Для расчета напряженности поля воспользуемся законом Ш. Кулона и принципом суперпозиции.

Разобьем заряженную плоскость на малые участки. Такое разбиение можно проводить различными способами. Расчеты упрощаются, если мыс-ленно разбить плоскость на тонкие кольца, а затем каждое кольцо разделить на малые участки (рис. 166).

Каждый малый участок плоскости можно рассматривать как точечный заряд величиной ΔQ = σ·ΔS, который создает поле, вектор напряженности которого ~\Delta \vec E направлен вдоль прямой, соединяющий заряд с точкой наблюдения A (рис. 167).

Полная напряженность электрического поля будет равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными участками плоско-сти. Ясно, что результирующий вектор напряженности будет направлен перпендикулярно плоскости (обозначим это направление осью z). Действительно, для каждого заряда ΔQ найдется симметрично расположенный заряд ΔQ´, сумма векторов напряженностей полей ~\Delta \vec E + \Delta \vec E' , создаваемых этими зарядами, будет направлена вдоль оси z.

Вычислим напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом, в точке находящейся на оси кольца на расстоянии h от его центра.

Разобьем кольцо на малые участки, заряд каждого из них обозначим ΔQi. В точке наблюдения вектор напряженность поля ~\Delta \vec E_i , создаваемого этим зарядом, направлен вдоль линии, соединяющей заряд и точку наблюдения. Величина этого вектора может быть рассчитана по закону Ш. Кулона

~\Delta E_i = \frac{\Delta Q_i}{4 \pi \varepsilon_0 r^2},

где ~r = \sqrt{h^2 + R^2} — расстояние от заряда то точки наблюдения.

Как мы показали, результирующий вектор напряженности направлен вдоль оси кольца. Поэтому для его расчета достаточно просуммировать проекции векторов ~\Delta \vec E на эту ось ~\Delta E_{iz} = \Delta E_i \cos \alpha = \Delta E_i \frac{h}{r} . Просуммируем проекции векторов напряженностей полей, создаваемых всеми зарядами, на которые мы разбили кольцо

~E_z = \Delta E_{1z} + \Delta E_{2z} + \ldots = \sum_{i} {\Delta E_{iz}} = \sum_{i} {\frac{\Delta Q_i}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \cos \alpha }.

Так как все заряды находятся на равных расстояниях r от точки наблюдения, а векторы ~\Delta \vec E_i образуют равные углы α с осью Z, вычисление этой суммы сводится суммированию зарядов (постоянные множители можно вынести за знак суммы):

~E_z = \sum_{i} {\frac{\Delta Q_i}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \sum_{i} {\Delta Q_i} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \cos \alpha = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{h}{(h^2 + R^2)^\frac{3}{2}}. (2)

Заметим, что в центре кольца напряженность поля равна нулю, затем с ростом h напряженность поля возрастает до некоторого максимального значения, после чего начинает монотонно убывать. Причем на больших расстояниях при h >> R в формуле (2) можно пренебречь R в знаменателе, при этом напряженность поля определяется формулой ~E_z = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 h^2} , которая соответствует напряженности поля точечного заряда. Данный результат понятен, на расстояниях значительно превышающих радиус кольца, кольцо можно рассматривать как точечный заряд. График функции (2) показан на рисунке 168.

Далее для вычисления напряженности поля, созданного всей плоско-стью, необходимо просуммировать выражения (2) по всем кольцам, на которые была разбита плоскость. Такое суммирование, в принципе, можно провести, но этот расчет требует привлечения операции интегрирования, поэтому заниматься этим не будем. Тем более, что результат можно получит гораздо быстрее, использую теорему Гаусса.

Для использования этой теоремы для определения напряженности поля, необходимо рассмотреть симметрию поля, которая, очевидно связана с симметрией зарядов. Распределение зарядов не изменится, если плоскость сместить на любой вектор ~\vec a , лежащий в самой плоскости. Поэтому при таком смещении не изменится и напряженность поля (рис. 169).

Следовательно, напряженность поля может зависеть только от расстояния до плоскости h. Любая прямая, перпендикулярная плоскости является осью симметрии, то есть при повороте плоскости на любой угол относительно любой оси, перпендикулярной плоскости, распределение зарядов не изменяется — следовательно, и вектор напряженности при таком повороте не изменится, поэтому этот вектор должен быть перпендикулярен плоскости. Наконец, заряженная плоскость является плоскостью симметрии для поля. Поэтому в симметричных точках векторы напряженности также симметричны. Выявленные свойства симметрии электрического поля позволяют выбрать поверхность, для которой можно выразить поток вектора напряженности в простой форме. Итак, в качестве такой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью S параллельны ей и находятся на равных расстояниях от плоскости.

Прежде всего, заметим, что поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как во всех точках боковой поверхности векторы напряженности ~\vec E и нормали ~\vec n взаимно перпендикулярны (поэтому cos α = 0) (рис. 170).

Поток через верхнее основание цилиндра может быть записан в виде Ф = E·S, так модуль напряженности поля на основании цилиндра постоянен, а по направлению совпадает с вектором нормали. Такое же значение имеет поток через нижнее основание. Таким образом, суммарный поток вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра равен ФE = 2E·S. По теореме Гаусса этот поток равен заряду внутри поверхности Q = σS , деленному на электрическую постоянную ~\Phi_E = 2 ES = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} . Их этого равенства выражаем модуль вектора напряженности электрического поля

~E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}. (3)

Как видите, с использованием теоремы Гаусса нам удалось решить по-ставленную задачу «в одно действие». Главная составляющая успеха — анализ симметрии поля, позволивший разумно выбрать поверхность, для использования теоремы Гаусса. Также обратите внимание, что напряженность данного поля одинакова во всех точках, следовательно, это поля является однородным. Подчеркнем, независимость напряженности поля от расстояния до плоскости h никак не следует из симметрии поля, это результат нашего расчета.

Следующая страница

Источник — «http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/9.6._%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8»