Kvant. Правило квантования Бора

Бакунин Г. Размерности и... правило квантования Бора //Квант. — 2007. — № 3. — С. 36-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Ни для кого не секрет, что не любую концепцию современной физики можно корректно объяснить в школьных терминах. Иногда ситуация складывается еще сложнее - вычисления носят элементарный характер, однако понять мотивацию классиков совсем непросто. Так, например, обстоит дело с формулой Бора для квантования энергетических уровней в атоме водорода. Эта формула безусловно достойна того, чтобы обратить на нее внимание, поскольку позволяет установить связь между законами классической механики и квантовыми идеями. Более того, она является прекрасным примером того, как нетривиальный экспериментальный результат наглядно объясняется с помощью теории.

Еще в 1885 году швейцарский учитель физики И.Бальмер установил, что частоты (или длины волн) всех спектральных линий водорода в области видимого света (серия Бальмера) можно описать одной довольно простой формулой. Несколько позже в спектре водорода были обнаружены серии линий в области ультрафиолета (серия Лаймана) и в области инфракрасного излучения (серия Пашена и др. серии), описываемые аналогичными формулами. Оказалось, что для всех этих линий пригодна общая формула, называемая формулой Бальмера - Ридберга:

\(~\dfrac{1}{\lambda} = R \left( \dfrac{1}{n^2_l} - \dfrac{1}{n^2_k} \right)\) ,

где λ - длина волны излучения, R = 1,097·10⁷ м^-1 - постоянная Ридберга, а n_l и n_k - целые числа. Эта формула являлась в то время научной загадкой.

Включить в теоретическую модель квантовые (целые) числа, опираясь на «планетарную» модель Резерфорда, удалось Нильсу Бору в 1913 году. С формальной точки зрения, новые квантовые вычисления просты, так как в них используются только алгебраические преобразования базовых законов. Однако все не так просто с квантованием момента импульса, использованным Бором для объяснения формулы Бальмера - Ридберга. Выбор этой физической величины для квантования далеко не тривиален. Более того, момент импульса не изучают в школе (разве что факультативно), и во многом это создает методические трудности. Здесь мы рассмотрим, как гипотезу Бора можно обосновать с размерностной точки зрения, которая является полезной и при решении других задач.

Начнем с введения основных величин. Энергию излучаемых фотонов можно рассматривать как результат перехода электрона с одного энергетического уровня на другой:

\(~\varepsilon_f = h \nu = \dfrac{hc}{\lambda} = E_{n_l} - E_{n_k}\) ,

где h — постоянная Планка, ν — частота излучения, с — скорость света, а E_n — энергия n-го уровня. В нашем случае энергия Ε электрона, движущегося по круговой орбите, складывается из кинетической энергии, равной \(~\dfrac{m \upsilon^2}{2}\), и потенциальной энергии притяжения электрона к ядру, равной \(~-\dfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}\):

\(~E = \dfrac{m \upsilon^2}{2} - \dfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}\) .

Это уравнение содержит две неизвестные величины: скорость электрона υ и радиус орбиты r. Одну из них можно исключить при помощи уравнения движения электрона по орбите

\(~\dfrac{m \upsilon^2}{r} = \dfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\) .

Тогда получаем

\(~E(r) = -\dfrac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 r}\) .

Сравним разность энергий электрона на орбитах с радиусами r_l и r_k:

\(~E_l - E_k = -\dfrac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 r} \left( \dfrac{1}{r_l} - \dfrac{1}{r_k} \right)\)

с энергией фотона, записанной с помощью формулы Бальмера - Ридберга:

\(~\varepsilon_f = h \nu = h \dfrac{c}{\lambda} = hcR \left( \dfrac{1}{n^2_l} - \dfrac{1}{n^2_k} \right)\) .

Видим, что необходимо введение новой гипотезы для того, чтобы установить связь квантовых чисел n_l и n_k с соответствующими радиусами орбит r_l и r_k.

Гипотеза, предложенная Бором в 1913 году, заключается в квантовании момента импульса вращающегося по круговой орбите электрона:

\(~m \upsilon r = n \dfrac{h}{2\pi}\) .

Исторической справедливости ради, отметим, что и до Бора предпринимались попытки квантования физических величин, связанных с орбитальным движением. Тем не менее, гениальная интуиция Бора сыграла решающую роль.

Рассмотрим вопрос с размерностной точки зрения, не выбирая заранее, какую величину нужно квантовать. Запишем более общее условие квантования в виде

\(~\upsilon^{\alpha}r^{\beta} = n C_0\) ,

где α, β, C₀ - некоторые постоянные. Заметим, что случай α = 2 и β = 0 ведет к квантованию энергии, выбор α = 1 и β = 0 характеризует импульс, а комбинация α = 1 и β = 1 соответствует моменту импульса.

Итак, мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными υ, r, n и тремя постоянными α, β, C₀:

\(~E(r) = -\dfrac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 r}\) , \(~\dfrac{m \upsilon^2}{r} = \dfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\) , \(~\upsilon^{\alpha}r^{\beta} = n C_0\) .

Исключая переменные υ и r, найдем зависимость энергии электрона E(r(n)) = E_n от квантового числа n:

\(~E_n = -\dfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m (C_0 n)^{\dfrac{2}{\alpha}}} \right)^{\dfrac{\alpha}{2\beta - \alpha}} \sim \left( \dfrac{1}{n} \right)^{\dfrac{2}{2\beta - \alpha}} \) .

Для получения зависимости \(~E_n \sim \dfrac{1}{n^2}\), необходимо предположить, что

\(~2\beta - \alpha = 1\) , или \(~\beta(\alpha) = \dfrac{1 + \alpha}{2}\).

Очевидно, в рамках размерностного подхода мы ожидаем увидеть целые значения α и β, что обеспечивается нечетными значениями числа α : α = 1,3,5,... Однако выбор α = β = 1 можно интерпретировать в терминах сохранения момента импульса электрона. Это важный аргумент, поскольку сохранение момента импульса орбитального движения в поле ньютоновских или кулоновских сил является основой описания некруговых траекторий. Сам Бор затронул этот вопрос только косвенно, указав на возможность сопоставления круговой и эллиптической орбит электрона с заданной энергией посредством выбора радиуса круговой обиты. С другой стороны, момент импульса имеет размерность постоянной Планка h:

\(~rp = r m \upsilon = C_* n\) ,

где \(~C_* = mC_0 = \dfrac{h}{2 \pi}\) — постоянная, которая соответствует уравнению, описывающему гипотезу Бора.

Естественно, универсальная постоянная h должна участвовать в уравнении, описывающем излучение в соответствии с фундаментальными идеями Планка. Важно, что во времена Планка и Бора постоянная h все еще оставалась магической величиной, требующей интерпретации, и модель квантования Бора стала еще одним шагом в этом направлении.