Kvant. Мал да силен

Дроздов В. Мал, да силен //Квант. — 1996. — № 2. — С. 40.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как-то, разбираясь в лаборантской школьного физического кабинета, я обнаружил паспорт кольцеобразного электромагнита, питаемого постоянным током напряжением 4 - 6 В. В нем указывалось, что при напряжении 4 В подъемная сила электромагнита такова, что он может удерживать груз массой 50 кг. Самого электромагнита, выпущенного более тридцати лет назад, к сожалению, уже не было.

Давайте проведем несложный теоретический расчет и покажем, что небольшой электромагнит действительно может удержать груз массой, равной массе учащегося. Мысленно сконструируем простейший электромагнит!. Представим себе, что цилиндрический сердечник электромагнита изготовлен из трансформаторной стали с магнитной проницаемостью μ = 8000. Пусть его длина l = 20 см, а диаметр d = 2 см. Навьем на сердечник однослойную обмотку из медного провода, покрытого весьма тонким слоем изоляции (удельное электрическое сопротивление меди ρ = 1,7·10^-8 Ом·м). При диаметре провода d₁ = 1 мм число витков равно N = 200.

Сначала естественно вычислить энергию W магнитного поля электромагнита. Для этого воспользуемся известной формулой \(~W = \frac{LI^2}{2}\), где I — ток в обмотке, L — индуктивность катушки. Из физических соображений ясно, что индуктивность катушки зависит от ее геометрии и магнитных свойств сердечника. Строгий расчет дает \(~L = \frac{\mu \mu_0 N^2 S}{l}\), где μ₀ = 4π·10^-7 Гн/м — магнитная постоянная, \(~S = \frac{\pi d^2}{4}\) — площадь поперечного сечения сердечника. Вывод этой формулы можно найти, например, в учебном пособии для 10 класса школ и классов с углубленным изучением физики под редакцией А. А.Пинского (М.: Просвещение, 1993, с. 305.). Итак, энергия поля равна

\(~W = \frac{\mu \mu_0 N^2 SI^2}{2l},\)

а плотность энергии —

\(~w = \frac{W}{Sl} = \frac{\mu \mu_0 N^2 I^2}{2l^2}.\)

Плотность энергии любого вида измеряется в джоулях, деленных на кубический метр. Заметим, что Дж/м³ = Н/м² =Па — единица давления. Интуиция подсказывает: именно величина w и есть давление торца сердечника и якоря, изготовленного из того же материала и плотно прижатого к сердечнику (считаем соприкасающиеся плоские поверхности достаточно хорошо обработанными). Значит, подъемную силу электромагнита можно определить так:

\(~F = wS = \frac 12 \mu \mu_0 \left( \frac{NI}{l} \right)^2 S.\)

Осталось связать силу тока I с напряжением U. По закону Ома \(~I = \frac UR\), \(~R = \frac{\rho l_1}{S_1}\) — сопротивление обмотки, \(~S_1 = \frac{\pi d^2_1}{4}\) — площадь сечения провода, \(~l_1 = \pi dN\) — его длина. Учитывая очевидное равенство \(~N = \frac{l}{d_1}\), найдем \(~I = \frac{Ud^3_1}{4 \rho dl}\). Тогда формула для подъемной силы преобразуется к виду

\(~F = \left( \frac{\pi \mu_0}{128} \right) \cdot \left( \frac{\mu}{\rho^2} \right) \cdot \left( \frac{d^2_1}{l} \right)^2 \cdot U^2.\)

Величины, входящие в формулу, для удобства анализа разбиты на четыре сомножителя. Первый — константа, второй характеризует вещества сердечника и провода, третий определяется их размерами, четвертый — внешнее напряжение (оно не должно быть чрезмерным, а то обмотка катушки нагреется, задымится и перегорит).

Положив в формуле U = 4 В, получим F = 341 Н, что соответствует поднимаемой массе m = 35 кг. При этом по обмотке течет ток I = 14,7 А. Если U = 6 В, то F = 767 Н, m = 78 кг, I = 22 А. Оба тока вполне допустимы, так как медный провод диаметром 1 мм плавится при токе 80 А. А чтобы катушка слишком не нагрелась, ее не надо чрезмерно долго держать включенной.

Видим, что даже малый электромагнит, питаемый от низковольтного напряжения, может поднять весьма немалый груз.