Kvant. Идеальный газ - модель
Городецкий Е.Е. Идеальный газ — универсальная физическая модель //Квант. — 1991. — № 9. — С. 33-36.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
За огромным многообразием явлений, которые изучает физика, часто довольно трудно усмотреть какие-то общие подходы и универсальные модели, с поразительной устойчивостью возникающие в самых разных областях знания. А вместе с утратой универсальности пропадает ощущение красоты и единства физической картины мира. Все затягивается серой пеленой скуки и происходящего от нее непонимания.
Может быть, одним из самых типичных примеров сказанного является идеальный газ, при упоминании о котором представляют себе, как правило, просто сильно разреженный газ. А между тем это не совсем так. Идеальный газ — это универсальная физическая модель, применимая для описания самых разнообразных природных объектов. Чтобы увидеть эту универсальность, попытаемся основные результаты теории обычного идеального газа перевести на более общий язык.
Главным признаком идеального газа является отсутствие взаимодействия между молекулами. Или, лучше сказать, малость энергии взаимодействия молекулы со своим окружением по сравнению с ее собственной энергией.
Из чего же складывается собственная энергия молекулы? Прежде всего это кинетическая энергия ее поступательного движения. Для того чтобы задать кинетическую энергию любого тела, и в частности молекулы, достаточно задать три компоненты его скорости (или импульса). Три — потому что пространство наше трехмерное. Можно сказать иначе — в трехмерном пространстве молекула всегда обладает тремя степенями свободы, связанными с движением ее центра масс. Эти степени свободы называются поступательными. Как мы увидим чуть ниже, именно на языке степеней свободы наиболее явно проявляется универсальность модели идеального газа.
Кроме поступательного движения, молекула, если она имеет какую-то пространственную структуру, может принимать участие во вращении вокруг любой из трех координатных осей. Это означает, что, наряду с тремя поступательными, у молекулы есть еще и три вращательные степени свободы. (Исключение составляют молекулы, атомы которых вытянуты в жесткую цепочку: они могут вращаться лишь вокруг двух осей, перпендикулярных этой цепочке. Поэтому такие молекулы имеют лишь две вращательные степени свободы.)
Но и это еще не все. Реальная молекула отнюдь не представляет собой абсолютно жесткое, монолитное образование: атомы, составляющие молекулу, могут колебаться друг относительно друга. А это значит, что, кроме поступательных и вращательных, есть еще и колебательные степени свободы. Перебирая таким образом все движения, в которых может участвовать молекула или составляющие ее элементы, мы можем точно указать, сколько у нее степеней свободы.
Зачем это нужно? А затем, что существует чрезвычайно важная и очень общая теорема, которая утверждает, что на каждую степень свободы любой равновесной системы приходится в среднем энергия, равная \(~\frac 12 kT\), где Т — абсолютная температура, k — постоянная Больцмана, указывающая, скольким джоулям энергии соответствует один градус температуры (градус — это тоже единица измерения энергии, только внесистемная). Так, например, суммарная энергия трех поступательных степеней свободы равна \(~\frac 32 kT\). Но энергия поступательного движения молекулы — это ее кинетическая энергия. Отсюда и получается, что
Иногда говорят, что температура есть мера кинетической энергии молекулы. Точнее было бы сказать, что температура есть мера энергии, приходящейся Hat одну степень свободы. Таким образом, если мы знаем число степеней свободы одной молекулы (обозначим это число буквой i), что нетрудно найти полную энергию этой молекулы (Wmol) и, соответственно, внутреннюю энергию всего газа, содержащего N молекул (Wgas):
Приведенные формулы выглядят предельно просто. Но простота эта обманчива! Дело в том, что между поступательными и всеми остальными степенями свободы существует одно чрезвычайно глубокое различие, открытое на заре XX века великим немецким физиком Максом Планком. Суть его сводится к тому, что, в то время как энергия поступательного движения может меняться непрерывно, энергия колебательного и вращательного движения меняется только порциями — квантами.
В применении к молекулам дискретность энергии означает, в частности, что для возбуждения колебаний атомов, составляющих молекулу, или приведения молекулы как целого во вращение необходима некоторая вполне конечная энергия. Существование такой пороговой энергии возбуждения Wp для какой-нибудь степени свободы (колебательной или вращательной) приводит к тому, что на эту степень свободы приходится уже не \(~\frac 12 kT\), a меньшая энергия. Дело тут вот в чем. Распределение энергии по степеням свободы происходит при соударениях молекул газа. По порядку величины передаваемая при соударениях энергия равна kT (средней кинетической энергии поступательного движения молекул). Если температура газа настолько высока, что kT >> Wp то наличие квантового порога возбуждения не чувствуется, возбуждение данной степени свободы происходит без помех и на нее приходится обычная доля энергии \(~\frac 12 kT\). В противоположном случае (kT << Wp) данная степень свободы при соударениях практически никогда не возбуждается и на ее долю приходится очень малая доля обычной энергетической нормы. Иначе говоря, при высокой температуре данная степень свободы должна учитываться наравне с поступательными, а при низкой она «вымораживается». Можно сказать, что число задействованных степеней свободы зависит от температуры.
Выше уже отмечалось, что единственное движение, энергия которого может меняться непрерывно, это поступательное движение. А это означает, что «вымораживания» поступательного движения не происходит никогда. Именно поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона \(~pV = NkT\) остается справедливым при любых темературах, лишь бы газ был настолько разрежен, чтобы взаимодействием его молекул можно было бы пренебречь (давление связано исключительно с поступательным движением молекул). А вот в выражение для энергии газа \(~W_{gas} = N \frac i2 kT\) при высоких температурах надо подставлять одно значение i (задействованы все степени свободы), а при низких — другое (часть степеней свободы «заморожены»).
И наконец, прежде чем перейти к другим системам, совершенно не похожим на газ, приведем еще одно соотношение — между давлением газа и его энергией. Сравнивая уравнение Менделеева — Клапейрона (\(~pV = NkT\)) и выражение для энергии поступательного движения (\(~W_{post} = \frac 32 NkT\)), здесь число поступательных степеней свободы ipost=3), легко найти
Тот факт, что энергия газа связана исключительно с полным числом его степеней свободы, а давление, в свою очередь, выражается через энергию, т. е. снова через число степеней свободы (только поступательных), наводит на очень важную мысль. А может и необязательно вовсе, чтобы система представляла собой большое число невзаимодействующих молекул? Может быть, все определяется лишь степенями свободы, а уж связаны эти степени свободы с молекулами (и тогда мы имеем идеальный газ) или с чем-то другим — это, так сказать, вопрос второй?
Чтобы пояснить эту мысль, давайте рассмотрим систему, очень далекую по своим внешним признакам от обычного газа. Представьте себе замкнутую полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. Как и всякое нагретое тело, стенки излучают внутрь полости электромагнитные волны. Полость оказывается как бы заполненной электромагнитным излучением. Идея о том, что находящееся в равновесии со стенками тепловое излучение можно рассматривать как идеальный газ, где различным степеням свободы соответствуют колебания различных частот, возникла сразу же, как начали заниматься этим объектом. Это казалось тем более правдоподобным, что давление, обусловленное излучением, связано с его энергией почти таким же соотношением, как для обычного идеального газа:
Однако первые попытки сосчитать энергию такого «газа» привели к обескураживающим результатам. Дело в том, что в полости могут существовать волны любой, сколь угодно большой частоты. И если каждой такой «степени свободы» выделить энергию \(~\frac 12 kT\), то полная энергия всех волн окажется бесконечно большой. Именно эта парадоксальная ситуация с тепловым излучением в полости (ее назвали «ультрафиолетовой катастрофой») и заставила Планка выдвинуть обсуждавшуюся выше квантовую гипотезу. Он предположил, что энергия колебания с частотой ν может меняться только порциями, равными hν (h — постоянная Планка). Это значит, что все колебания с частотами, для которых hν >> kT, оказываются «замороженными» и не дают вклада в энергию. Опираясь на свою гипотезу, Планк вывел формулу для распределения энергии электромагнитных колебаний в полости по частотам и получил прекрасное согласие с экспериментальными данными. Сходство между обычным идеальным газом и газом электромагнитных волн оказалось столь велико, что отдельным элементарным волнам с энергией hν стали сопоставлять специальные частицы — фотоны.
Совершенно аналогичная ситуация возникает при описании свойств кристалла (казалось бы, совсем уж прямом антиподе идеального газа). Кристалл, так же как и замкнутая полость, оказывается заполнен волнами, только не электромагнитными, а звуковыми. При распространении таких волн согласованные колебания совершают атомы кристалла. Элементарную волну-частицу в случае звука называют фононом. И вновь удается найти внутреннюю энергию кристалла, вычислив число степеней свободы, соответствующих звуковым волнам разных частот. А зная энергию, можно рассчитать и многие другие свойства кристалла.
Вообще сведение различных явлений к совокупности некоторых волн, каждой из которых сопоставляется совершенно определенное число степеней свободы, чрезвычайно распространено в физике. А это есть не что иное, как сведение различных систем к идеальному газу. И в этом смысле сама модель идеального газа является одной из очень немногих фундаментальных физических моделей, сыгравших и продолжающих играть выдающуюся роль в создании физической картины окружающего нас мира.
