А. Гармонические колебания

Гармонические колебания

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 13.2) гармо-ническое колебательное движение.

Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:

$x = A \cos \Bigr( \frac{2 \pi}{T}t + \varphi_0 \Bigl)$ или $x = A \sin \Bigr( \frac{2 \pi}{T}t + \varphi'_0 \Bigl)$

где х — смешение — величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А — амплитуда колебаний — максимальное смещение тела из положения равновесия; Т — период колебаний — время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; $\varphi_0$ — начальная фаза; $\varphi = \frac{2 \pi}{T}t + \varphi'_0$ — фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.

Если в начальный момент времени t₀= 0 колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то $\varphi_0 = 0$, а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

$x = A \cos \frac{2 \pi}{T}t.$

Если колеблющаяся точка при t₀ = 0 находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

$x = A \sin \frac{2 \pi}{T}t.$

Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:

$\nu = \frac{1}{T}$(в СИ единицей частоты является герц, 1Гц = 1с^-1).

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то

$T = \frac{t}{N} ; \nu = \frac{N}{t}.$

Величину $\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}$ , показывающую, сколько колебаний совершает тело за 2 $\pi$ с, называют циклической (круговой) частотой.

Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:

$x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).$

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

На рисунке 13.3, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая $\varphi_0=0$, т.е. $~x=A\cos \omega t.$

Рис. 13.3

Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:

$\upsilon_x = x' A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr( \omega t + \frac{\pi}{2} \Bigl) ,$

где $~\omega A = |\upsilon_x|_m$— амплитуда проекции скорости на ось х.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по  гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на $\frac{\pi}{2}$ (рис. 13.3, б).

Для выяснения зависимости ускорения a_x(t) найдем производную по времени от проекции скорости:

$~ a_x = \upsilon_x' = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),$

где $~\omega^2 A = |a_x|_m$ — амплитуда проекции ускорения на ось х.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 13,3, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей $~x(t), \upsilon_x (t)$ и $~a_x(t),$ если $~x = A \sin \omega t$ при $\varphi_0=0.$

Учитывая, что $A \cos \omega t = x$, формулу для ускорения можно записать

$~a_x = - \omega^2 x,$

т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, т.е. ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Так, проекция ускорения — это вторая производная от смещения а_x=х' ' , то полученное соотношение можно записать в виде:

$~a_x + \omega^2 x = 0$ или $~x'' + \omega^2 x = 0.$

Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний — уравнением гармонического осциллятора.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 368-370.